Álgebra abstrata/Conjuntos
Teoria dos Conjuntos editar
O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).
Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.
A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.
A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.
Definição de Conjunto editar
Conjunto é uma coleção de objetos
- Ex: ,
- é uma coleção de números, é uma coleção de cores
- Logo são conjuntos
Seja um conjunto:
- , significa que é um elemento de .
- , significa que não é um elemento de .
Definição de Subconjunto editar
Um subconjunto é parte de certa coleção .
- Ex:
- Assim , isto é, todo elemento que pertence a , pertence a , por isso dizemos que é subconjunto de .
- Mais formalmente, se , logo
Inclusão editar
é a inclusão dos elementos de , e lê-se está contido em .
Igualdade editar
- Subconjunto próprio: é subconjunto próprio de
- Isto é,
Conjunto vazio editar
Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo
- O , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
- Às vezes é chamado de conjunto vazio.
Conjunto x propriedade editar
É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:
- Ex:
- Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais
União editar
A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:
-
- Veremos mais para frente que ao qual são três conjuntos disjuntos
Exemplos:
Intersecção editar
A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:
Exemplos:
Disjuntos editar
Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.
- são disjuntos.
Exemplos:
- . Logo A não é disjunto dele próprio.
- . Logo A,B não são disjuntos.
- . Logo A,B são disjuntos.
Diferença editar
A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:
- .
Exemplos:
- .
- .
- .
- .
Complemento editar
É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos
- .
Distributividade do conjuntos editar
Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:
Axiomas básicos editar
Um subconjunto importante é o , pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.
- Exemplo:
Axiomas de Peano (sucessão) editar
A função sucessão é dada por
- (Identidade) A função de sucessão é injetiva
- Dados
- (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
- Logo tal que s(m)=1
- (unicidade)
- Seja , para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
- (Princípio da Indução) Seja um conjunto com as seguintes propriedades: ; Se então . Então
Teorema (Princípio da boa ordenação) editar
Todo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo.
Prova editar
- Devemos mostrar o complementar de em relação ao assim
- Tomemos um subconjunto : formado pelos elementos que não estão em , ou seja, .
- a quem pertence o elemento
- Se o teorema está demonstrado, pois é o menor elemento do .
- Se logo
- O conjunto
- Agora tomemos um subconjunto de , chamado onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim
- mostrar que
- Pela construção do conjunto , temos que . Se , teríamos e logo . Como não faz sentido, logo , portanto
- Devemos mostrar que é o menor elemento de
- Como todos os antecessores de são os elementos de , temos que é o menor elemento de , pois os elementos menores que estão em
Conjuntos finitos e infinitos editar
Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:
- quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
- quando existe uma bijeção entre e . (Neste caso o conjunto têm n elementos)
- escreve-se .
Concluímos que:
- todo conjunto é finito.
- Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
- Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.
Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.
Propriedades importantes dos conjuntos finitos editar
Teorema (Bijeção sobre um subconjunto) editar
Seja . Se existir uma bijeção então .
Prova editar
- o fato de ser um subconjunto de nos diz que
- têm no máximo os mesmos elementos de
- têm no máximo n elementos.
- Se é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de .
- Juntando os dois fatos (o fato de ter a mesma quantidade de elementos de e que esses elementos são no máximo os elementos de ) temos que .
Corolário (unicidade numa bijeção) editar
Se existir uma bijeção então . Consequentemente, se existem duas bijeções e , logo .
Prova editar
- o teorema 2 nos diz que seja e se existir uma , temos que
- Logo devemos supor que (neste caso estamos supondo que ), e essa suposição é válida pois se fosse não teríamos uma bijeção
- Pelo teor 2, ao qual
Corolário (bijeção sobre uma parte própria) editar
Não pode existir uma de um conjunto finito sobre uma parte própria
Prova editar
Teorema (Propriedades de um subconjunto) editar
Se é um conjunto finito então todo subconjunto é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.
Prova editar
Corolário editar
Seja uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.