Seja um monóide
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,1)\;}
. Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que,
u
⋅
v
=
1
{\displaystyle u\cdot v=1\;}
. Chamamos v de inverso de u e escrevemos
v
=
u
−
1
{\displaystyle v=u^{-1}\;}
. No caso em que a operação binária
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
for representada pelo símbolo de soma, + , representa-se o inverso por
v
=
−
u
{\displaystyle v=-u\;}
.
Um grupo G ( ou seja,
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,1)\;}
) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.
Grupo também pode ser definido como um triplo
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)\;}
na qual M é um conjunto não-vazio,
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que
1
⋅
a
=
a
=
a
⋅
1
{\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1\;}
para todo a em M e para todo u, existe um v tal que
u
⋅
v
=
1
{\displaystyle u\cdot v=1\;}
.
Em resumo, seja
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,1)\;}
. G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:
∃
1
∈
G
t
a
l
q
u
e
1
⋅
g
=
g
⋅
1
=
g
∀
g
∈
G
{\displaystyle \exists 1\in G\;tal\;que\;1\cdot g=g\cdot 1=g\;\forall \;g\in G}
(existe unidade)
g
1
,
g
2
∈
G
⟹
g
1
⋅
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G\implies g_{1}\cdot g_{2}\in G}
(fechado para multiplicação)
∀
g
∈
G
∃
g
−
1
t
a
l
q
u
e
g
⋅
g
−
1
=
g
−
1
⋅
g
=
1
{\displaystyle \forall \;g\in G\;\exists g^{-1}\;tal\;que\;g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=1}
(todo elemento possui inverso)
g
1
.
g
2
,
g
3
∈
G
⟹
g
1
⋅
(
g
2
⋅
g
3
)
=
(
g
1
⋅
g
2
)
⋅
g
3
{\displaystyle g_{1}.g_{2},g_{3}\in G\;\implies g_{1}\cdot (g_{2}\cdot g_{3})=(g_{1}\cdot g_{2})\cdot g_{3}}
(composição binária associativa)
Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.
Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)
Nota-se que para todo grupo
(
″
G
″
,
″
⋅
″
,
″
1
″
)
{\displaystyle (''G'',''\cdot '',''1'')\;}
, se M é um subconjunto de G ,
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que
(
″
M
″
,
″
⋅
″
,
″
1
‴
)
{\displaystyle (''M'',''\cdot '',''1''')\;}
seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:
Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T . Mostre que:
(
P
(
S
)
,
∩
,
S
)
{\displaystyle (P(S),\cap ,S)\,}
e
(
P
(
T
)
,
∩
,
T
)
{\displaystyle (P(T),\cap ,T)\,}
são monóides
P(S) é um subconjunto de P(T)
a operação de interseção em P(T) , quando aplicada a elementos de P(S) , retorna um elemento de P(S) (fechamento)
as identidades nos dois monóides são diferentes
Grupo Comutativo (Abeliano)
editar
Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja
u
,
v
∈
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle u,v\in (G,\cdot ,1)\;}
, onde
u
⋅
v
=
v
⋅
u
{\displaystyle u\cdot v\;=\;v\cdot u}
.
Grupo de transformação
editar
Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se
u
⋅
v
=
1
{\displaystyle u\cdot v=1\;}
, u,v estão em U(M), Como
1
⋅
1
=
1
{\displaystyle 1\cdot 1=1\;}
, 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.
Exemplo: Se
M
=
(
Z
,
⋅
,
1
)
,
U
(
M
)
=
1
,
−
1
{\displaystyle M=(\mathbb {Z} ,\cdot ,1),\;U(M)={1,-1}}
, se
M
=
(
N
,
⋅
,
1
)
,
U
(
M
)
=
1
{\displaystyle M=(\mathbb {N} ,\cdot ,1),\;U(M)={1}}
Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.
M
(
S
)
=
{
1
S
=
(
1
2
1
2
)
,
α
=
(
1
2
2
1
)
,
β
=
(
1
2
1
1
)
,
γ
=
(
1
2
2
2
)
}
,
∘
1
S
α
β
γ
1
S
1
S
α
β
γ
α
α
1
S
γ
β
β
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}}
vemos que
1
S
e
α
{\displaystyle 1_{S}\;e\;\alpha }
são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) =
{
1
S
,
α
}
{\displaystyle \{1_{S},\alpha \}\;}
. U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).
Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação . Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:
1
=
1
S
∈
G
{\displaystyle 1=1_{S}\in G}
α
∘
β
∈
G
,
s
e
α
,
β
∈
G
{\displaystyle \alpha \circ \beta \in G,se\;\alpha ,\beta \in G}
α
−
1
∈
G
,
s
e
α
∈
G
{\displaystyle \alpha ^{-1}\in G,se\;\alpha \in G}
α
∘
(
β
∘
γ
)
=
(
α
∘
β
)
∘
γ
,
s
e
α
,
β
,
γ
∈
G
{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma ,se\;\alpha ,\beta ,\gamma \in G}
Teoria de Grupo
editar
Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.
Teorema 1 : Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.
i) Se
α
{\displaystyle \alpha \;}
têm inverso à direita
β
{\displaystyle \beta \;}
, assim
β
∘
α
=
1
S
{\displaystyle \beta \circ \alpha =1_{S}\;}
e
t
,
t
′
∈
S
,
α
(
t
)
=
α
(
t
′
)
{\displaystyle t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')}
implica que:
t
=
1
S
(
t
)
=
(
β
∘
α
)
(
t
)
=
β
∘
(
α
(
t
)
)
=
β
∘
(
α
(
t
′
)
)
=
(
β
∘
α
)
(
t
′
)
=
1
S
(
t
′
)
=
t
′
{\displaystyle t=1_{S}(t)=(\beta \circ \alpha )(t)=\beta \circ (\alpha (t))=\beta \circ (\alpha (t'))=(\beta \circ \alpha )(t')=1_{S}(t')=t'}
logo
t
,
t
′
∈
S
,
α
(
t
)
=
α
(
t
′
)
⟹
t
=
t
′
{\displaystyle t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')\implies t=t'}
ii)Se
α
{\displaystyle \alpha \;}
têm inverso à esquerda
γ
{\displaystyle \gamma \;}
, assim
u
∈
S
,
α
∘
γ
=
1
S
{\displaystyle u\in S,\;\alpha \circ \gamma =1_{S}\;}
temos que:
u
=
1
S
(
u
)
=
(
α
∘
γ
)
(
u
)
=
α
(
γ
(
u
)
)
=
γ
(
v
)
∈
S
,
v
∈
S
{\displaystyle u=1_{S}(u)=(\alpha \circ \gamma )(u)=\alpha (\gamma (u))=\gamma (v)\in S,v\in S}
{\displaystyle \;}
Corolário 1 : Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
Seja
t
∈
S
,
s
=
1
S
(
s
)
=
β
(
α
(
s
)
)
=
α
(
γ
(
s
)
)
,
{\displaystyle t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),}
Como
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
∘
(
α
∘
γ
)
)
(
s
)
=
(
β
∘
α
∘
γ
)
(
s
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
{\displaystyle \beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)}
Logo
β
(
s
)
=
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
=
γ
(
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)}
Corolário 2 : Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
Seja
t
∈
S
,
s
=
1
S
(
s
)
=
β
(
α
(
s
)
)
=
α
(
γ
(
s
)
)
,
{\displaystyle t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),}
Como
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
∘
(
α
∘
γ
)
)
(
s
)
=
(
β
∘
α
∘
γ
)
(
s
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
{\displaystyle \beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)}
Logo
β
(
s
)
=
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
=
γ
(
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)}
Como
(
α
∘
β
∘
α
)
(
s
)
=
α
(
s
)
{\displaystyle (\alpha \circ \beta \circ \alpha )(s)=\alpha (s)}
, temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.
Teorema 2 : O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações
Teorema 3 : Seja
t
,
u
∈
G
(
S
,
⋅
,
1
)
,
S
e
t
⋅
a
=
u
;
b
⋅
t
=
u
{\displaystyle t,u\in G(S,\cdot ,1),Se\;t\cdot a=u;b\cdot t=u}
, então
a
=
t
−
1
⋅
u
,
b
=
u
⋅
t
−
1
{\displaystyle a=t^{-1}\cdot u,b=u\cdot t^{-1}\;}
Teoria de Subgrupo
editar
Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T
{\displaystyle \;}