Aplicações do GeoGebra ao ensino de Matemática/Definições e teoremas

Listaremos algumas definições que serão utilizadas no desenvolvimento das atividades propostas para familiarização com o GeoGebra durante o curso. Assim pretendemos propiciar o melhor aproveitamento para todos os participantes não só no sentido de sanar eventuais dúvidas conceituais porventura existentes, mas principalmente para fixar uma linguagem comum. Trabalharemos inicialmente as suas ferramentas de construções elementares para então chegarmos às atividades. As definições que apresentaremos seguem uma ordem lógica para comunicação.

Ponto, reta e plano

Neste texto PONTO, RETA e PLANO, serão considerados conceitos elementares e por isso não serão definidos. Admitiremos como forma de comunicação os elementos da linguagem dada pela teoria ingênua dos conjuntos. Nesse sentido, retas e planos serão considerados como conjuntos de pontos de modo que ponto é um elemento do plano, ou que ponto pertence ao plano, ponto pertence à reta e assim a reta está contida no plano. É comum usar o termo figura geométrica ou figura como sinônimo para se referir a um subconjunto de pontos do plano.

• Para obter esses elementos temos as ferramentas específicas e de uso imediato, basta clicar no ícone adequado, na barra de ferramentas de acesso rápido e na parte geométrica da janela inicial do GeoGebra para que o elemento desejado seja representado.

Círculo

É o conjunto dos pontos do plano situados a uma distância constante r (raio) de um ponto fixo C (centro).

• Sua construção é feita com a ferramenta círculo do ícone curvas as opções são: círculo dado dois pontos, círculo dado um ponto e o raio ou ainda com a ferramenta seletor (está no ícone de ferramentas extras) que consiste em criar um intervalo de variação para a distância.

Diâmetro

Dada uma reta passando pelo centro do círculo, os pontos de interseção com o círculo determinam sobre a reta um segmento chamado diâmetro.

OBSERVAÇÃO: Neste texto Circunferência e Círculo serão considerados sinônimos, mas em vários textos didáticos, é costume usar o primeiro nome para se referir apenas à borda, enquanto o segundo pode significar tanto o interior reunido com a borda quanto somente a borda. Usaremos o termo Círculo e o seu significado ficará claro no contexto.

Semicírculo

Toda reta pelo centro de um círculo divide-o em dois semicírculos.

Segmento

É o conjunto de pontos compreendidos entre dois pontos A e B tomados sobre uma reta, juntamente com A e B, que são extremidades do segmento. É representado por .

Medida de segmento

A cada segmento corresponde um número real positivo, que é a medida do segmento. Dizemos também que esse número é a distância entre A e B. Notação: AB.

Poligonal

Uma poligonal, A₁, A_2,..., é a reunião de finitos segmentos , , ..., sequenciais tendo como interseção apenas os pontos A₂,A₃,... A_n-1. Se coincide com A₁ então a poligonal é fechada.

Ponto médio

Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento se M está entre A e C e AM = MC.

Paralelas

São retas que não se intersecam.

Semirreta

Dados dois pontos A e B sobre uma reta. A semirreta é a reunião do segmento com os pontos C da reta tais que B está entre A e C. O ponto A é chamado origem da semirreta.

Ângulo

É a figura plana formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem. A origem comum O chama-se vértice e as semi-retas chamam-se lados. A cada ângulo corresponde um número real entre 0 e 180 que é a sua medida, nesse caso sua medida é dada em graus.

• Podemos fazer ângulo de amplitude fixa, clicando na opção do ícone medidas e em dois pontos onde quer que o ângulo seja construído e abrirá uma janela pedindo a medida do ângulo.

Classificação de ângulos

Os ângulos podem ser:

• Reto: quando mede 90°
• Agudo: possui medida menor que 90°.
• Obtuso: possui medida maior que 90° e menor que 180°.
• Adjacentes: ângulos que tem um lado em comum.
• Complementares: ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90°.
• Suplementares: ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180°.
• Ângulo inscrito: tem o vértice na circunferência e os lados intersecam o círculo em dois pontos.
• Ângulo central: tem o vértice no centro de um círculo.

DEFINIÇÃO: Diz-se que dois segmentos e são CONGRUENTES quando possuem o mesmo comprimento, e que dois ângulos e são congruentes quando têm a mesma medida.

OBSERVAÇÕES: - ângulos opostos pelo vértice possuem mesma medida. - com esta definição as propriedades da igualdade de números passam a valer para a congruência de segmentos ou de ângulos. Logo, um segmento é sempre congruente a ele mesmo, e se dois segmentos são congruentes a um terceiro, então são congruentes entre si.

Bissetriz

É a semirreta de origem no vértice de um ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.

Perpendiculares

São retas que se intersecam formando ângulos de 90°.

Mediatriz

É a reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio.

Conjunto convexo

Um conjunto A é chamado convexo se para todo par de pontos P e Q do conjunto o segmento está contido no conjunto.

Disco

É o conjunto dos pontos cuja distância do centro C é menor ou igual ao raio r.

Semiplano

Uma reta dada divide o plano em dois semiplanos opostos. A reta dada é chamada origem de cada um dos semiplanos.

Polígono

A figura formada por uma linha poligonal fechada chama-se polígono e recebe denominações conforme o número de lados que possui. Consideraremos também como polígono a reunião da linha poligonal com os pontos interiores determinados por ela.

Polígono convexo

Um polígono é denominado convexo se nenhum par de seus pontos está em semiplanos opostos relativamente a uma reta que contém cada lado do polígono.

Polígono regular

Um polígono é regular se todos os seus lados e ângulos internos são congruentes.

Classificação dos polígonos

Quanto ao número de lados:

Tabela 1 - Número de lados dos polígonos

Número de lados	Nome do polígono
3	Triângulo
4	Quadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octógono
9	Eneágono/Nonágono
10	Decágono

Subconjuntos do círculo

Arco de círculo

É a parte do círculo determinada por um ângulo central. Os pontos de interseção do círculo com o ângulo são os extremos do arco.

• Temos várias maneiras de construí-lo, basta abrirmos o ícone curvas e observamos a mais conveniente.

Corda

É segmento de reta que une os dois extremos de um arco. Quando dois arcos compartilham a mesma corda dizemos que eles são arcos suplementares.

Círculo circunscrito

Diz-se que um círculo está circunscrito a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem ao círculo.

• Para fazer um círculo com esta propriedade, é interessante fazer primeiro o polígono, caso não lhe seja exigido o raio do mesmo. Ao se exigir o raio temos que conhecer melhor os métodos de divisão de círculo em n partes iguais. Que consiste em dividir o círculo ou o ângulo central pelo número de partes desejadas.

Círculo inscrito

Diz-se que um círculo está inscrito a um polígono se é tangente (possui apenas um ponto em comum) a todos os lados do polígono.

• Seu centro é o encontro das bissetrizes do polígono e ele é tangente internamente a todos os lados do mesmo. Para determinar seu raio trace uma perpendicular a um lado do polígono passando pelo centro e essa distância será o raio do círculo. Temos a ferramenta que constrói a reta tangente a curva passando por um ponto dado não pertencente a curva. Está localizada no ícone propriedade.

Triângulo

DEFINIÇÃO: se ABC é um triângulo, os seus ângulos , e são chamados de ângulos internos ou simplesmente de ângulos do triângulo. Os suplementos destes ângulos são chamados ângulos externos do triângulo.

Cevianas

É todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao mesmo.

Classificação dos triângulos

1. Quanto aos lados:
   • Equilátero: possui os três lados congruentes.
   • Isósceles: possui dois lados congruentes; o terceiro lado chama-se base; os ângulos adjacentes à base são congruentes.
   • Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.
2. Quanto aos ângulos:
   • Retângulo: quando um dos ângulos internos é reto.
   • Acutângulo: quando os três ângulos internos são agudos.
   • Obtusângulo: quando um dos ângulos internos é obtuso.

Elementos notáveis do triângulo

- Altura: é a ceviana que une um vértice ao lado oposto, formando com esse lado um ângulo reto. - Bissetriz: é a ceviana que parte de um dos vértices do triângulo dividindo o ângulo em duas partes iguais. - Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. - Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado de um triângulo por seu ponto médio.

Pontos notáveis do triângulo

Considerando altura, bissetriz, mediana e mediatriz elementos do triângulo temos: - Ortocentro é o encontro das alturas. - Incentro é o encontro das bissetrizes. - Baricentro é o encontro das medianas. - Circuncentro é o encontro das mediatrizes.

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes.

• OBS: Podemos considerar dinamicamente que um triângulo é congruente a outro quando for possível movê-lo de forma a encaixa-lo exatamente sobre o outro.

Casos de congruência:

1° Caso: (LAL) Dados dois triângulos ABC e EFG, se , A E, e , então ΔABC ΔEFG. 2° Caso: (ALA) Dados dois triângulos ABC e EFG, se , A E e B F, então ΔABC ΔEFG. 3º Caso: (LLL) Se dois triângulos ABC e EFG, tem três lados correspondentes congruentes, então ΔABC ΔEFG

• E LLA é caso de congruência?

Teorema fundamental da semelhança

Se uma reta paralela a um lado de um triângulo interseca os outros dois lados em pontos distintos então ela determina segmentos que são proporcionais a tais lados.

Semelhança de triângulos

Diremos que dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais.

Casos de semelhança

Primeiro caso (LAL): se, em dois triângulos ABC e EFG tem-se A E e = , então os triângulos são semelhantes. Segundo caso (AA): dados dois triângulos ABC e EFG, se A E e B F então os triângulos são semelhantes. Terceiro caso (LLL): dados dois triângulo ABC e EFG, tem-se = = , então os dois triângulos são semelhantes.

• E LLA é caso de semelhança?

Região poligonal

É uma figura plana formada pela justaposição de um número finito de regiões triangulares

Área

A cada região poligonal corresponde um único número real positivo que é a sua área.

• Para determinar a área de um polígono basta clicar no ícone medida na opção área e posteriormente no polígono.

Perímetro

Soma das medidas dos lados do polígono.

• Para determinar o perímetro de um polígono basta clicar no ícone medida, na opção distância e posteriormente no polígono.

Quadriláteros

Classificação dos quadriláteros

1. Trapézio: possui dois lados (bases) paralelos.
   1. 1. Tipos de trapézios
      2. Retângulo: é quando um dos lados não-paralelos é perpendicular às bases.
      3. Isósceles: é o trapézio no qual os lados não-paralelos são congruentes.
2. Paralelogramo: possui lados opostos paralelos.
3. Retângulo: é o quadrilátero cujos ângulos internos são retos.
4. Losango: é o quadrilátero cujos quatro lados são congruentes
5. Quadrado: é o quadrilátero que possui todos os lados e ângulos congruentes.

Equivalência de polígonos

Dois polígonos são equivalentes quando possuem a mesma área.

Propriedade fundamental da equivalência

Se os triângulos ABC e MNP têm mesma altura, a razão entre suas áreas é a mesma que a razão entre suas bases.

Teorema de tales

Um feixe de retas concorrentes corta um outro feixe de retas paralelas segundo segmentos proporcionais.

Teorema de pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

Problema geral de quadratura

Construir um quadrado equivalente a um polígono dado (triângulo, retângulo, trapézio, etc).