Mecânica Newtoniana/Trajetórias e geometria diferencial

Elementos de geometria diferencial de curvas.

Trajetórias são curvas no espaço tridimensional. Para melhorar nosso arsenal de terminologia e objetos matemáticos à disposição para tratar trajetórias, vamos fazer uma incursão brevíssima sobre os capítulos introdutórios da geometria diferencial. Imagine que, a partir de certa posição inicial ${\vec {x}}_{0}$ deixemos transcorrer um intervalo de tempo infinitesimal dt. Neste intervalo de tempo, a variação no vetor posição será dada por:

$d{\vec {x}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}dt={\vec {v}}dt$

A distância percorrida neste pequeno intervalo de tempo será então dada por:

$ds^{2}=d{\vec {x}}\cdot d{\vec {x}}=|{\vec {v}}|^{2}dt^{2}$

Logo, a distância entre dois pontos separados por uma distância finita na trajetória de um corpo puntual é dada por:

$s({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ds=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left|{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right|dt=\int _{t_{!}}^{t_{2}}|{\vec {v}}|dt$

Podemos usar para para parametrizar a trajetória a função $s(t)=s({\vec {x}}(t),{\vec {x}}_{0})$ com ${\vec {x}}_{0}$ um certo ponto inicial sobre a trajetória. Dessa forma podemos escrever a trajetória da forma:

${\vec {x}}={\vec {x}}(s)$

Vamos definir então o vetor ${\vec {\tau }}$ como:

${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {x}}}{ds}}$

Este vetor aponta sempre na direção tangente à trajetória, e será denominado simplesmente vetor tangente. O vetor tangente tem módulo unitário:

${\vec {\tau }}\cdot {\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {x}}\cdot d{\vec {x}}}{ds^{2}}}={\frac {ds^{2}}{ds^{2}}}=1$

Repare que o vetor ${\vec {\tau }}$ varia ao longo da trajetória e é, portanto, um função do tempo. Note que a velocidade é dada por:

${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\frac {d{\vec {v}}}{ds}}{\frac {ds}{dt}}=v(t){\vec {\tau }}$

e portante é sempre paralela ao vetor tangente. A quantidade:

$v(t)={\frac {ds}{dt}}$

é a distância percorrida por unidade de tempo sobre a trajetória, comumente denominada nos livros de Física do Ensino Médio de velocidade escalar instantânea. A partir desse resultado podemos escrever então:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(v(t){\vec {\tau }}\right)={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }}+v^{2}{\frac {d{\vec {\tau }}}{ds}}.$

Vamos definir neste ponto o que denominaremos vetor de curvatura:

${\vec {k}}={\frac {d{\vec {\tau }}}{ds}}.$

O vetor de curvatura é perpendicular ao vetor tangente, como podemos facilmente deduzir da expressão para o módulo de ${\vec {\tau }}$:

${\frac {d({\vec {\tau }}\cdot {\vec {\tau }})}{ds}}=0\implies {\vec {\tau }}\cdot {\frac {d{\vec {\tau }}}{ds}}=0.$

Definimos a função curvatura $k(s)$ de uma curva espacial como o módulo do vetor de curvatura ${\vec {k}}$. A razão dessa definição é que o inverso da curvatura é exatamente igual ao inverso do raio do círculo osculante à curva no ponto ${\vec {x}}(s)$, ou seja, do círculo que melhor aproxima o trecho infinitesimal da curva em torno deste ponto. Escrevendo de forma explícita:

$k(s)={\frac {1}{R(s)}}.$

$R(s)$ também é denominado raio de curvatura no ponto ${\vec {x}}(s)$. O vetor unitário associado a ${\vec {k}}$ é perpendicular à tangente da trajetória e é denominado vetor normal:

${\vec {n}}={\frac {1}{k}}{\vec {k}}.$

Este vetor é unitário, perpendicular à tangente da curva e aponta sempre na direção do centro do círculo osculante.

Acelerações centrípeta e tangencial.

A expressão para a aceleração pode ser escrita na forma:

${\vec {a}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }}+v^{2}{\frac {d{\vec {\tau }}}{ds}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }}+v^{2}{\frac {1}{R}}{\vec {n}}$

A aceleração pode ser, portanto, separada em duas contribuições, a aceleração tangencial:

${\vec {a}}_{t}={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }},$

e a aceleração centrípeta:

${\vec {a}}_{c}={\frac {v^{2}}{R}}{\vec {n}}$