Mecânica dos fluidos/Equações básicas para um sistema

Equações básicas para um sistema

Como visto na Introdução, as equações básicas em uso na mecânica dos fluidos são:

• O princípio da continuidade
• A segunda lei do movimento de Newton
• O princípio de conservação do momento angular
• A primeira lei da termodinâmica
• A segunda lei da termodinâmica

A formulação dessas leis para um sistema (ou seja, uma região do espaço através da qual não há fluxo de massa) é a seguinte:

O princípio da continuidade

${\frac {dm}{dt}}\;=\;0$

$m\;=\;\int dm\;=\;\int \rho dV$

onde t é o tempo, m é a massa do sistema, V o seu volume e ρ, a sua densidade.

A segunda lei do movimento de Newton

${\vec {F}}\;=\;{\frac {d{\vec {M}}}{dt}}$

${\vec {M}}\;=\;\int {\vec {v}}dm\;=\;\int \rho {\vec {v}}dV$

onde F é a força aplicada ao sistema, M é o momento linear do sistema e v, a sua velocidade. A aplicação do princípio de conservação do momento linear resultaria nessas mesmas equações.

O princípio de conservação do momento angular

${\vec {\Omega }}\;=\;{\frac {d{\vec {H}}}{dt}}$

${\vec {H}}\;=\;\int {\vec {h}}dm\;=\;\int \rho {\vec {h}}dV$

onde Ω é o torque aplicado ao sistema, H é o momento angular do sistema, h o momento angular de um elemento e r, o braço do momento.

A primeira lei da termodinâmica

$\Delta E\;=\;\delta Q\;+\;\delta W$

$E\;=\;\int edm\;=\;\int e\rho dV$

onde E é a energia do sistema, Q é a quantidade de calor que entra no sistema, e é a energia de um elemento e W, o trabalho realizado sobre o sistema.

A segunda lei da termodinâmica

$\Delta S\;\geq \;{\frac {\delta Q}{T}}$

$S\;=\;\int sdm\;=\;\int s\rho dV$

onde S é a entropia do sistema, s é a entropia de um elemento e T, a temperatura do sistema.

Relações auxiliares

Além das equações de estado dos gases, são relações auxiliares frequentemente usadas:

• A fórmula da energia total: $E\;=\;U\;+\;{\frac {v^{2}}{2}}$

onde U é a energia potencial (de qualquer tipo). Essa fórmula vale tanto para sistemas quanto para elementos.

• As fórmulas referentes ao momento angular: ${\vec {h}}\;=\;{\vec {r}}\times {\vec {v}}\qquad \Omega \;=\;{\vec {r}}\times {\vec {F}}_{r}$

onde r é o braço do momento.

• As relações termodinâmicas: $\Delta H\;=\;C_{P}\;\Delta T\qquad \Delta H\;=\;C_{V}\;\Delta T;$

onde H é a entalpia, T é a temperatura e C_P e C_V são as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante, respectivamente.