Análise real/Topologia da reta: diferenças entre revisões
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Linha 220:
===Teorema de Heine-Borel===
Um conjunto é '''K''' compacto se e somente se
Todo cobertura de abertos admite uma subcobertura finita.
;Demonstração
Começamos demonstrando o seguinte lema:
;Lema:
Se um conjunto '''K''' possui a propriedade de Heine-Borel e <math>x\notin K\,</math>, então <math>\hbox{dist}(K,x)>0\,</math>
;Demonstração
Define-se:
:<math>r(y)=\frac{|x^*-y|}{2}, \forall y\in\mathbb{R}^n</math>
É claro que <math>r(y)>0\,</math> para todo ponto <math>y\,</math> em <math>K\,</math>.
Agora contróem-se os abertos:
:<math>O_{y}=B(y,r(y)), \forall y\in K</math>, ou seja, a bola de centro y e raio <math>r(y)\,</math>
Eles formam uma cobertura para <math>K</math>:
:<math>K=\bigcup_{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup_{y\in K}O_y</math>
Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos <math>y_1,y_2,\ldots, y_n \in K\,</math> tais que:
:<math>K\subseteq \bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}</math>
Da simples definição de <math>O_{y}\,</math>, sabemos que eles são disjuntos das bolas centradas em <math>y^*\,</math> de raio <math>r(y)\,</math>:
:<math>O_{y}\bigcap B(x^*,r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^*,r(y))=\emptyset</math>
Define-se:
:<math>\delta=\min_{k=1}^{n} r(y_k)\,</math>
temos:
:<math>O_{y_k}\bigcap B(x^*,\delta)=B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,\delta)\subseteq B(y_k,r(y_k))\bigcap B(x^*,r(y_k))=\emptyset,\forall k=1,\ldots,n</math>
Tomando a união, temos:
:<math>K\bigcap \left(B(x^*,\delta)\right)\subseteq \left(\bigcup_{k=1}^{n}O_{y_k}\right)\bigcap B(x^*,\delta)=\emptyset</math>
O que completa a demonstração.
==Navegando==
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