Análise real/Topologia da reta: diferenças entre revisões
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Linha 255:
O que completa a demonstração.
;Todo conjunto de Heine-Borel é fechado
Seja '''K''' um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja <math>x\notin K\,</math>, pelo lema anterior <math>\hbox{dist}{K,x}>0\,</math> e, portanto, <math>x\notin \overline{K}\,</math>, isso significa que:
:<math>K^c\subseteq \overline{K}^c\Longrightarrow \overline{K}\subseteq K\,</math>
e portanto '''K''' é fechado.
;Todo conjunto de Heine-Borel é limitado
Seja '''K''' um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de '''K''':
:<math>K\subseteq \mathbb{R} = \bigcup_{n=1}^{\infty}(-n,n)\,</math>
Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:
:<math>K\subseteq \bigcup_{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,</math>
Logo '''K''' é limitado.
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