Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias: diferenças entre revisões
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== Introdução ==
Equações diferenciais ordinárias (EDO´s) podem se tornar complexas para serem calculadas através de métodos analíticos, por conta disso alguns dos principais matemáticos também
== Problema de condições iniciais ==
Um problema de valor inicial (PVI) nada mais é que uma EDO acompanhada de uma condição inicial. Condição inicial é um ponto x (numa função f(x)) que pertence ao domínio da função f(x) que é solução do PVI.
Por exemplo: se conhecemos a função velocidade <math> v(t)</math> podemos perguntar qual será a posição <math> x(t) </math> de uma partícula no instante <math> t </math>. A equação diferencial a resolver será:
▲Por exemplo: se conhecemos a função velocidade <math> v(t)</math> podemos perguntar qual será a posição <math> x(t) </math> de uma partícula no instante <math> t </math>. A equação diferencial a resolver será:<br>
▲<math> dx/dt = v(t) </math>, <br>
▲cuja solução é <math> x(t) = x(0)+\int_0^t v(t)dt </math>.
A posição inicial é necessária para definir unicamente a solução do problema.
=== Método de Euler ===
A fórmula que rege esse método é a seguinte<br> <math> y_{n+1} = y_n + h*f(y_n,t_n)</math> (1.1),
Onde y é igual a f(x) e h é um valor denominado passo; e f(y<sub>n</sub>, t<sub>n</sub>) = y'. A origem da fórmula é a expansão em série de Taylor, da qual retemos apenas o termo de primeira ordem. Vejamos como utilizá-la. Imagine o gráfico da EDO y'= f'(x), e que em seu domínio existam dois pontos x<sub>1</sub> e x<sub>2</sub> ; x<sub>1</sub> será a coordenada x da condição inicial e x<sub>2</sub> é o valor para o qual você deseja a solução do PVI, o passo é um valor que fará um incremento no valor de x<sub>1</sub> até que este chegue até x<sub>2</sub> nos cálculos seguintes. O número de incrementos portanto é definido por <br>(x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>)/h (1.2). Torne a EDO do PVI em função de y<sub>n</sub> (observe que este é um termo da fórmula acima).Determine o número de passos pela fórmula 1.2. Feito isto podemos iniciar os cálculos para determinar o valor do PVI para determinado valor de x
Calculados estes dois termos, devemos substituí-los em 1.1, tendo assim efetuado a primeira linha do cálculo, o próximo passo é o cálculo da primeira iteração. Para a primeira iteração temos que<math> y_n=(y_n + 1) </math> calculado na linha anterior e y´n é calculado a partir da EDO do PVI para os valores x + h e (yn+1) da linha de comando anterior; calculados estes dois termos, novamente devemos substituídos em 1.1 e assim terminamos a primeira interação. A segunda iteração tem uma sistemática idêntica a da primeira iteração. Assim iterações sucessivas são executadas até que se atinja a iteração limite calculada anteriormente pela fórmula 1.2; alcançado este valor limite de iteração, o y desejado será o valor da fórmula 1.1 da linha anterior.
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=== Método de Runge-Kutta ===
A sistemática de resolução do método de
Y(n+1)=yn + 1/6*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)
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onde,
h = passo.
== Problema de condições na fronteira ==
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=== Método do tiro ===
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