Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões

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== Definição de número primo ==
{{Definição|texto=
Um ''número primo'' é um número natural que tem exactamenteexatamente dois divisores positivos (distintos: a unidade e o próprio número).
Um número que não é primo é chamado de ''composto''.
}}
 
Como já [[Teoria de números/Divisibilidade#Propriedades da divisibilidade|foi observado no capítulo anterior]], o fato da divisibilidade ser reflexiva (propriedade 1) e que <math>1</math> é divisor de qualquer número inteiro (propriedade 8) garantem que todo número inteiro <math>a</math> diferente de <math>1</math> e <math>-1</math> possui pelo menos dois divisores: <math>1</math> e <math>a</math>. Com isso em mente, alguém poderia se perguntar:
Agora é possível explicar melhor a "decomposição em blocos básicos" apresentada no início deste capítulo.
 
* ''O que os números primos têm de tão especial, já que todos os números inteiros têm ao menos dois divisores?''
 
É essencial notar que a definição acima exige que um número possua <u>exatamente dois divisores positivos</u>, antes de poder ser chamado de '''número primo'''. Assim, a definição exclui automaticamente o número <math>1</math> da [[Teoria de números/10000 primos|lista de números primos]], pois ele possui um único divisor positivo: o próprio 1. Além disso, seria redundante dizer na própria definição que um número é primo somente se <u>os seus únicos divisores são ele mesmo e a unidade</u>, pois isso decorre da exigência de que <math>p</math> tenha <u>apenas dois divisores positivos</u>.
 
Agora é possível explicar melhor a "decomposição em blocos básicos" apresentada no início destedesse capítulotexto.
 
Primeiramente, observe como os elementos de <math>\mathbb{Z}^+</math> estão "ordenados" pela divisibilidade na figura a seguir:
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Os elementos irredutíveis de <math>2\mathbb{Z}\,\!</math> serão os "blocos básicos" a partir dos quais poderão ser gerados todos os outros números pares.
 
Da mesma forma como foi demonstrado que todo número inteiro possui uma decomposição em fatores ''primos'', pode-se provar que todo elemento de <math>2\mathbb{Z}\,\!</math> possui uma decomposição em fatores ''irredutíveis''. A verificação deste fato fica a cargo do leitor. Sinta-se a vontade para adicioná-la neste texto.
 
{{Demonstração}}
 
Uma última consideração a respeito do conjunto <math>2\mathbb{Z}\,\!</math> (e que justifica a escolha do mesmo para este exemplo), é que embora todos os seus elementos admitam uma fatoração em irredutíveis, ''pode haver mais de uma decomposição para um mesmo número''. Veja: