Otimização/Método da lagrangiana aumentada: diferenças entre revisões
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Com essas condições, mostrou-se que em um ponto que seja solução, a lagrangiana aumentada é fortemente convexa.
{{Exercício▼
| Argumente porque as hipóteses 1, 2 e 3 garantem que a iteração do algoritmo da Lagrangiana aumentada para problemas de minimização com restrições de igualdade tem uma única solução, sendo:▼
# Todas as funções são de classe <math>\mathcal{C}^2</math> e a função objetivo tem todos os seus subníveis compactos.▼
# Se <math>\bar{x}</math> é solução do problema, então existe <math>\bar{u}</math> tal que o gradiente da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal se anula em <math>(\bar{x},\bar{u})</math>.▼
# A hessiana da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal é definida positiva sob a variedade ortogonal de todos os gradientes no ponto <math>\bar{x}</math> das restrições.▼
}}▼
Antes de apresentar o algoritmo, será fixada mais uma notação:
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Este é um dos algoritmos mais usados e mais eficientes para problemas de programação não linear. A garantia
{{Teorema
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Com esses resultados, tem-se a garantia de que o algoritmo realmente converge para uma solução, desde que os parâmetros sejam tomados adequadamente. A questão que ainda permanece é como identificar os valores adequados de <math>\rho</math> e de <math>\delta</math> para que tal convergência ocorra.
▲{{Exercício
▲| Argumente porque as hipóteses 1, 2 e 3 garantem que a iteração do algoritmo da Lagrangiana aumentada para problemas de minimização com restrições de igualdade tem uma única solução, sendo:
▲# Todas as funções são de classe <math>\mathcal{C}^2</math> e a função objetivo tem todos os seus subníveis compactos.
▲# Se <math>\bar{x}</math> é solução do problema, então existe <math>\bar{u}</math> tal que o gradiente da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal se anula em <math>(\bar{x},\bar{u})</math>.
▲# A hessiana da Lagrangiana não aumentada com respeito a variável primal é definida positiva sob a variedade ortogonal de todos os gradientes no ponto <math>\bar{x}</math> das restrições.
▲}}
{{AutoCat}}
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