Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões
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Ao definir o conceito de '''continuidade''', o objetivo é identificar uma propriedade comum a diversas funções: a ausência de ''quebras'' ou ''saltos'' em seu gráfico. Geralmente exemplifica-se esta característica dizendo que uma função contínua é aquela ''"cujo gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel"''. Mas é importante ter em mente que isso é apenas uma ''interpretação'' do conceito, e que este é muito mais amplo.
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'''Definição: (continuidade em um ponto)'''<br>
Se <math>f(x) \;</math> é definido num intervalo aberto contendo <math>c \;</math>, então <math>f(x) \;</math> é dito ser '''contínuo em <math>c \;</math>''' se, e somente se <math>\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)</math>.
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Para exprimir essa característica matematicamente, diremos que uma função <math>f(x)</math> é '''contínua''' no ponto <math>a</math>, quando:
Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.
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*<math> f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & \mbox{se }x \ne 1 \\ 2 , & \mbox{se } x = 1
\end{cases} </math>
*<math> \lim_{x \to 1}f(x) \; \exists \;\Leftrightarrow \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>. Como <math> \lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = 2 = \lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1}</math>, Logo o limite existe, e o limite é 2.
*<math> f(1)=2 \; </math>.
* <math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math>
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