Eletrônica Digital/Sistemas de Numeração: diferenças entre revisões
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== Conceitos básicos ==
=== Introdução ===
Quando se ouve o termo “digital”, pensa-se imediatamente em “relógio digital” ou “calculadora digital”. Provavelmente, esta associação deve ser atribuída à popularidade que estas máquinas adquiriram devido à queda acentuada em seus preços, tornando-as acessíveis à grande maioria das pessoas. Apesar disso, é importante saber que as calculadoras e computadores representam apenas uma parcela do grande leque de aplicações dos circuitos digitais. Estes circuitos podem ser encontrados em produtos eletrônicos, como por exemplo, videogames, fornos de microondas, sistemas de controle automotivos e equipamentos de testes, como medidores, geradores e osciloscópios. As técnicas digitais vieram substituir alguns dos antigos “circuitos analógicos” usados em produtos de consumo, como rádios, TVs e equipamentos de áudio de alta fidelidade.
No decorrer do programa dessa disciplina, serão estudados os princípios e técnicas que são comuns a todos os sistemas digitais. Inicialmente serão introduzidos alguns conceitos básicos vitais na Eletrônica Digital. Novas terminologias aparecerão no início de cada assunto, sempre que for preciso.
=== Representações Numéricas ===
Lidamos constantemente com quantidades, que são medidas, monitoradas, gravadas, manipuladas aritmeticamente e utilizadas na maioria dos sistemas físicos. Quando lidamos com determinadas quantidades, é de extrema importância o conhecimento de como representar seus valores de maneira eficiente e precisa. Basicamente, existem duas formas de representação dos valores numéricos das quantidades: a '''analógica''' e a '''digital'''.
:*'''Representação Analógica''' – Analogicamente, uma quantidade é representada por outra que é proporcional à primeira. No velocímetro de um automóvel, a deflexão do ponteiro é proporcional à velocidade do veículo. A posição angular do ponteiro representa o valor da velocidade do veículo, e qualquer variação é imediatamente refletida por uma nova posição do ponteiro. Outro exemplo é o termômetro, em que a altura da faixa de mercúrio é proporcional à temperatura do ambiente. Quando ocorrem mudanças na temperatura, a altura da coluna de mercúrio também muda proporcionalmente.
Quantidades analógicas como as que acabamos de exemplificar têm uma característica importante: elas variam continuamente dentro de uma faixa de valores. A velocidade do automóvel pode assumir qualquer valor entre zero e, digamos, 100 km por hora.<br>
:*'''Representação Digital''' – Na representação digital, as quantidades são representadas por símbolos chamados dígitos, e não por valores proporcionais. Um exemplo clássico é o relógio digital, que apresenta as horas, minutos e às vezes os segundos, na forma de dígitos decimais. Como se sabe, o tempo varia continuamente, mas o relógio digital não mostra as variações de maneira contínua; pelo contrário, o valor é apresentado em saltos de um em um segundo ou minuto.
Em virtude da natureza discreta da representação digital, as leituras neste sistema não apresentam problemas de ambigüidade, em contraposição ao sistema analógico, em que as leituras deixam margem à interpretação do observador.<br>
=== Sistemas Digitais e Analógicos ===
Costuma-se dividir a Eletrônica em duas áreas: Eletrônica Analógica e Eletrônica Digital. Uma maneira bem simples para se entender o conceito das palavras Analógico e Digital, é a comparação de uma rampa com uma escada. Ao se analisar a rampa, percebe-se que uma pessoa poderá ocupar cada uma das infinitas posições existentes entre o início e o fim. No caso da escada, a pessoa poderá estar em apenas um dos seus degraus. Sendo assim, é correto dizer que a rampa pode representar um sistema analógico, enquanto que a escada pode representar um sistema digital.
No voltímetro analógico o ponteiro pode ocupar infinitas posições entre o maior e menor valor da escala, no voltímetro digital os valores mostrados no display são discretos, isto é, existe um número finito de valores entre o maior e o menor valor da escala. Outro exemplo pode ser encontrado no ajuste de volume de um televisor. Ajustando o volume do televisor através de um botão conectado a um potenciômetro, teremos infinitas posições para escolher dentro da escala permitida. Porém, no controle remoto observamos que a intensidade do som muda em pequenos saltos e, em alguns modelos, aparece no vídeo o valor selecionado em uma escala previamente definida.
Podemos dizer então que o "botão de volume" do televisor é uma entrada analógica, e que o ajuste de volume no controle remoto representa uma entrada digital. Podemos concluir que a Eletrônica Analógica processa sinais com funções contínuas e a Eletrônica Digital processa sinais com funções discretas.
=== Vantagens das Técnicas Digitais ===
O grande crescimento da eletrônica está relacionado com o uso de técnicas digitais para implementar funções que eram realizadas usando-se os métodos analógicos. Os principais motivos da migração para a tecnologia digital são:
* Os sistemas digitais são mais fáceis de ser projetados. Isso porque os circuitos utilizados são circuitos de chaveamento, nos quais não importam os valores exatos de tensão ou corrente, mas apenas a faixa – Alta (High) ou Baixa (Low) – na qual eles se encontram.
* Fácil armazenamento de informação. Técnicas de armazenamento digitais podem armazenar bilhões de bits em um espaço físico relativamente pequeno. Já a capacidade de armazenamento de um sistema analógico é extremamente limitada.
* Maior precisão e exatidão. Nos sistemas analógicos, a precisão é limitada porque os valores de tensão e corrente são diretamente dependentes dos valores dos componentes do circuito, além de serem muito afetados por ruídos.
* As operações podem ser programadas. É relativamente fácil e conveniente desenvolver sistemas digitais cuja operação possa ser controlada por um conjunto de instruções previamente armazenadas, denominado programa. Os sistemas analógicos também podem ser programados, mas a variedade e a complexidade das operações envolvidas são bastante limitadas.
* Os circuitos digitais são menos afetados por ruídos. Flutuações espúrias na tensão (ruído) não são tão críticas em sistemas digitais, desde que o ruído não tenha amplitude suficiente que dificulte a distinção entre um nível Alto e um nível Baixo.
* Os circuitos digitais são mais adequados à integração. É verdade que o desenvolvimento da tecnologia de integração (CIs) também beneficiou os circuitos analógicos, mas a sua relativa complexidade e o uso de dispositivos que não podem ser economicamente integrados (capacitores de grande capacitância, resistores de precisão, indutores, transformadores) não permitiram que os circuitos analógicos atingissem o mesmo grau de integração dos circuitos digitais.
=== Limitações das Técnicas Digitais ===
Na verdade, há apenas uma grande desvantagem ao se utilizar as técnicas digitais: o mundo é quase totalmente analógico. Grandezas que comprovam isso são a temperatura, a pressão, a posição, a velocidade, o nível de um líquido e a vazão. Para obter as vantagens das técnicas digitais quando se trabalha com entradas e saídas analógicas, três passos devem ser seguidos:
* Converter as entradas analógicas do mundo real para o formato digital.
* Realizar o processamento da informação digital.
* Converter as saídas digitais de volta ao formato analógico.
Na Figura 1 a seguir é apresentado o diagrama de um sistema de controle de temperatura típico. Conforme o diagrama, a temperatura analógica é medida e o valor medido é em seguida convertido para digital. A informação digital é processada e convertida de volta para o formato analógico. Essa saída alimenta um controlador que comanda alguma ação para o ajuste da temperatura.<br>
[[Image:Conversao_digital_analog_digital.png|center]]
<center> '''Fig. 1 - Sistema de Controle de Temperatura com Conversões Analógico-Digitais.'''</center><br>
Para simplificar ainda mais o processamento de sinais digitais, utiliza-se a técnica de numeração binária, que usa apenas dois símbolos para a representação de números. Esse sistema de numeração será visto com maiores detalhes adiante.
Se for utilizada a numeração binária, ter-se-á um ''Conjunto Universo'' com apenas dois elementos distintos para representar os sinais desejados. Isso quer dizer que num dispositivo digital eletrônico teremos o processamento de elementos que se apresentam em apenas dois valores. A esses conjuntos dá-se o nome de '''BITs''' ('''BI'''nary Digi'''T''') e '''BYTES''' (conjunto de 8 bits). Ao se trabalhar com sistemas binários, são utilizadas abreviações para certas potências de dois, como detalhadas na Tabela 1 a seguir. <br>
<center> '''Tabela 1 – Abreviações utilizadas para potência de 2.'''<br>
{| class="wikitable"
|-
! Número de Bits
! Valor
! Abreviação
|-
|<center>10 Bits</center>||<center>2<sup>10</sup> = 1.024</center>||<center>1 Kb (Kilobit)</center>
|-
|<center>16 Bits</center>||<center>2<sup>16</sup> = 65.536</center>||<center>64 Kb (Kilobit)</center>
|-
|<center>20 Bits</center>||<center>2<sup>20</sup> = 1.048.576</center>||<center>1 Mb (Megabit)</center>
|-
|<center>30 Bits</center>||<center>2<sup>30</sup> = 1.073.741.820</center>||<center>1 Gb (Gigabit)</center>
|}
</center><br>
O sistema de numeração binário é o mais importante sistema de numeração em sistemas digitais. Porém, outros sistemas também são muito utilizados, sendo necessária uma maneira de se converter os valores de um sistema para outro.
Desde que o ser humano necessitou contabilizar os objetos de seu cotidiano e realizar operações sobre os valores obtidos, ele desenvolveu sistemas numéricos diversos. Entre os diversos sistemas desenvolvidos em todas as épocas, o mais proeminente em nossa sociedade moderna é o '''sistema decimal''', ou seja, o sistema formado por digítos entre 0 e 9, contabilizados de 10 em 10, e cuja combinação pode constituir todos os números possíveis. Porém existem outros sistemas numéricos, utilizados para diversos fins.
==Sistemas numéricos posicionais==
Sistema numérico posicional é o nome dado a propriedade de um número variar o seu valor dependendo da posição em que ocupa dentro de uma ordem de valores. Como exemplo, podemos considerar o número 101. O número 1 não representa 1, mas sua posição representa 100 e é diferente do último 1 que representa apenas 1 unidade. Assim podemos considerar que no sistema decimal o valor de cada símbolo depende de sua posição. Ainda que aparentemente isto pareça trivial, ver-se-á que este conceito é de extrema importancia em outros sistemas numéricos posicionais.
==Base de um sistema numérico==
A base de um sistema numérico é a quantidade de algarismos utilizados para sua representação. Em nossa atual sociedade a base mais utilizada é a base 10 (decimal) onde contamos com 10 algarismos para representação numérica - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Porém existem outras bases de numeração como a base 12, base 60, base 2 (binária) e base 16 (hexadecimal). Temos que uma base ''b'' possuirá ''b'' algarismos, variando entre 0 e (b-1).
===[[w:Sistema binário|Sistema binário]]===
O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, pelo que o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana. Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term). Um agrupamento de 4 bits é chamado de nibble.
O sistema binário é base para a Álgebra booleana (de George Boole - matemático inglês), que permite fazer operações lógicas e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro, tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda eletrônica digital e computação está baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos eletrônicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados nas mídias (memórias, discos, etc) sob esse formato.
====Histórico do sistema binário====
O matemático indiano Pingala apresentou a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário no século III aC.
Um conjunto de 8 trigramas e 64 hexagramas, análogos a números binários com precisão de 3 e 6 bits, foram utilizados pelos antigos chineses no texto clássico I Ching. Conjuntos similares de combinações binárias foram utilizados em sistemas africanos de adivinhação tais como o Ifá, bem como na Geomancia do medievo ocidental.
Uma sistematização binária dos hexagramas do I Ching, representando a sequência decimal de 0 a 63, e um método para gerar tais sequências, foi desenvolvida pelo filósofo e estudioso Shao Yong no século XI. Entretanto, não há evidências que Shao Wong chegou à aritmética binária.
O sistema numérico binário moderno foi documentado de forma abrangente por Gottfried Leibniz no século XVIII em seu artigo "Explication de l'Arithmétique Binaire". O sistema de Leibniz utilizou 0 e 1, tal como o sistema numérico binário corrente nos dias de hoje.
Em 1854, o matemático britânico George Boole publicou um artigo fundamental detalhando um sistema lógico que se tornaria conhecido como Álgebra Booleana. Seu sistema lógico tornou-se essencial para o desenvolvimento do sistema binário, particularmente sua aplicação a circuitos eletrônicos.
Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese no MIT que implementava Álgebra Booleana e aritmética binária utilizando circuitos elétricos pela primeira vez na história. Intitulado "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits", a tese de Shannon praticamente fundou o projeto de circuitos digitais.
====Operações com binários====
=====Binários a decimais=====
Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada número que o compõe ([[bit]]), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição que ocupa. Uma posição à esquerda da vírgula representa uma potência positiva e à direita uma potência negativa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências resulta no número real representado.
Exemplo:
1011(binário)
1 × '''2<sup>3</sup>''' + 0 × '''2<sup>2</sup>''' + 1 × '''2<sup>1</sup>''' + 1 × '''2<sup>0</sup>''' = 11
Portanto, 1011 é 11 em decimal
==== Decimais em binários ====
===== Decimais inteiros em binários =====
Dado um número decimal inteiro, para convertê-lo em binário, basta dividi-lo sucessivamente por 2, anotando o resto da divisão inteira:<br>
<pre>
12(dec) -> bin
12 / 2 = 6 + 0
06 / 2 = 3 + 0
03 / 2 = 1 + 1
01 / 2 = 0 + 1
12(dec) = 1100(bin)
</pre>
Observe que os números devem ser lidos '''de baixo para cima: 1100''' é 12 em decimal.
Existe um método muito simples para converter binário em decimal, e vice-versa.
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
0 0 0 0 1 0 1 0 = 10 (2+8=10)
0 0 0 1 1 0 0 0 = 24 (8+16=24)
1 1 0 0 0 0 0 0 = 192 (64+128=192)
1 0 1 1 1 0 1 0 = 186 (2+8+16+32+128=186)
===== Decimais fracionários em binários =====
<b>Exemplo I
<br> 0.5625<sub>10</sub> </b><br>
Parte inteira = 0 <sub>10</sub> = 0<sub>2</sub><br>
Parte fracionária = 0.5625<sub>10</sub><br>
Multiplica-se a parte fracionária por 2 sucessivamente, até que ela seja igual a zero ou cheguemos na precisão desejada.<br>
<pre>
fração x 2 = vai-um + fração seguinte
0.5625 x 2 = 1 + 0.1250
0.1250 x 2 = 0 + 0.2500
0.2500 x 2 = 0 + 0.5000
0.5000 x 2 = 1 + 0.0000 <-- nesta linha a fração zerou, finalizamos a conversão
</pre>
Anotando a seqüência de '''vai-um (carry)''' na ordem de cima para baixo, temos: '''1001'''<br>
Portanto, 0.5625<sub>10</sub> = 0.1001<sub>2</sub>
'''No entanto, é mais comum nunca zerarmos a fração seguinte da multiplicação.'''<br>
Neste caso, devemos parar as multiplicações quando atingirmos uma certa precisão desejada.
<b>Exemplo II
<br> 67.575<sub>10</sub></b><br>
Parte inteira = 67<sub>10</sub> = 1000011<sub>2</sub><br>
Parte fracionária = 0.575<sub>2</sub><br>
<pre>
fração x 2 = vai-um + fração seguinte
0.5750 x 2 = 1 + 0.1500
0.1500 x 2 = 0 + 0.3000
0.3000 x 2 = 0 + 0.6000 <--- esta fração e suas subseqüentes serão repetidas em breve.
0.6000 x 2 = 1 + 0.2000
0.2000 x 2 = 0 + 0.4000
0.4000 x 2 = 0 + 0.8000
0.8000 x 2 = 1 + 0.6000 <--- a partir daqui repetimos a fração 0.6000 e suas subseqüentes
0.6000 x 2 = 1 + 0.2000
</pre>
Ou seja, entramos em um ciclo sem fim. Escolhemos uma precisão e finalizamos o processo quando esta precisão for atingida, então na ordem de cima para baixo, temos: '''10010011<sub>2</sub>'''.
===[[w:Sistema octal|Sistema octal]]===
Sistema Octal é um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7
O octal foi muito utilizado em informática como uma alternativa mais compacta ao binário na programação em linguagem de máquina. Hoje, o sistema hexadecimal é mais utilizado como alternativa ao binário.
Este sistema também é um sistema posicional e a posição de seus algarismos determinada em relação à vírgula decimal. Caso isso não ocorra, supõe-se implicitamente colocada à direita do número. A aritmética desse sistema é semelhante a dos sistemas decimal e binário, o motivo pelo qual não será apresentada.
Exemplo: - Qual o número decimal representado pelo número octal 4701? Utilizar o TFN. 4 x 8³ + 7 x 8² + 0 x 8¹ + 1 x 8° = = 2048 + 448 + 0 + 1 = 2497
====Conversões de um sistema para outro====
=====Conversão Decimal – Octal=====
[editar] Método de multiplicações sucessivas por 8
É utilizado para converter uma fração decimal para o sistema octal. Multiplica-se a fração decimal por 8, obtendo-se na parte inteira do resultado o primeiro dígito da fração octal resultante. O processo é repetido sucessivamente com a parte fracionária do resultado para obter os dígitos seguintes e termina quando a parte fracionária é nula ou inferior à medida de erro especificada. Exemplo: Converter a fração decimal 0.140625 em octal. 0.140625 x 8 = 1.125
0.125 x 8 = 1.0 Combinamos os dois métodos anteriores podemos converter para octal números decimais com parte inteira e fracionária.
=====Método de subtrair potências de 8=====
Outro método de conversão de números decimais para o sistema octal que serve para números com partes inteiras e fracionária é o de subtrair potências de 8. é semelhante ao estudado para a conversão decimal – binário e para a sua aplicação é necessária uma tabela de potências de 8.
=====Conversão Octal – Decimal=====
Existem vários métodos, sendo mais comumente utilizado o proveniente do TFN, em que se faz a conversão de forma direta através da fórmula. Exemplo: Converter o número octal 764 para o sistema decimal 764 (8) = 7 x 8² + 6 x 8¹ + 4 x 8° = 448 + 48 + 4 = 500 (10)
=====Conversão Octal – Binário=====
Quando existir necessidade de converter números octais em binários, deve-se separar cada dígito do número octal substituí-lo pelo seu valor correspondente de binário. Exemplo: Converter o número octal 1572 em binário.
Logo, 1 5 7 2 = 001 101 111 010
=====Conversão Binário – Octal=====
Para converter um número binário em octal, executa-se o processo inverso ao anterior. Agrupam-se os dígitos binários de 3 em 3 do ponto decimal para a esquerda e para a direita, substituindo-se cada trio de dígitos binários pelo equivalente dígito octal.
Por exemplo, a conversão do número binário 1010111100 em octal:
001 010 111 100
1 2 7 4
Assim, tem-se 1010111100bin = 1274oct
=====Conversão Octal – Hexadecimal=====
Para esta conversão é necessário executar um passo intermediário utilizando o sistema binário. Primeiramente converte-se o número octal em binário e depois converte-se o binário para o sistema hexadecimal, agrupando-se os dígitos de 4 em 4 e fazendo cada grupo corresponder a um dígito hexadecimal.
Por, exemplo, a conversão o número octal 1057 em hexadecimal:
Passagem ao binário:
1 0 5 7
001 000 101 111
Passagem ao hexadecimal:
0010 0010 1111
2 2 F
Assim, tem-se 1057oct = 22Fhex
=====Conversão Hexadecimal – Octal=====
Esta conversão, assim com a anterior, exige um passo intermediário em que se utiliza o sistema binário. Converte-se o número hexadecimal em binário e este em octal. Exemplo: Converter o número hexadecimal 1F4 em octal.
1 F 4
0001 1111 0100
Conversão para octal
0 7 6 4
000 111 110 100
===[[w:Sistema hexadecimal|Sistema hexadecimal]]===
O '''sistema hexadecimal''' é um sistema de numeração posicional que representa os números '''em base 16''' —portanto empregando 16 símbolos—.
Está vinculado à informática, pois os computadores costumam utilizar o byte ou octeto como unidade básica de memória; e, devido a um byte representar <math>2^8 = 256</math> valores possíveis, e isto poder representar-se como <math>2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 = 1 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 0 \cdot 16^0</math>, o que, segundo o '''teorema geral da numeração posicional''', equivale ao número em base 16 <math>100_{16}</math>, dois dígitos hexadecimais correspondem exactamente —permitem representar a mesma linha de inteiros— a um byte.
Isto fá-lo muito útil para a visualização de '''vertidos de memória''' já que permite saber de jeito singelo o valor de cada byte da memória.
Devido ao sistema decimal geralmente usado para a numeração apenas dispor de dez símbolos, deve-se incluir seis '''letras''' adicionais para completar o sistema. O conjunto de símbolos fica, portanto, assim:
: <math> S = \{1, 2, 3, \cdots, 9, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \cdots, \mathrm{F}\}</math>
Ter-se-á de notar que <math>A_{16} = 10_{10}</math>, <math>B_{16} = 11_{10}</math> e assim sucessivamente.
Também são usadas variedades com letras minúsculas em vez de maiúsculas.
==== Exemplo ====
Ver-se-á um exemplo numérico para obter o valor duma representação hexadecimal:
3E0,A (16) = 3×16<sup>2</sup> + E×16<sup>1</sup> + 0×16<sup>0</sup> + A×16<sup>-1</sup> = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625
==== Tabela de conversão entre decimal, binário e hexadecimal ====
{| {{prettytable}}
|+
!Decimal!!Binário!!Hexadecimal
|-----------------
|0||0000||0
|-----------------
|1||0001||1
|-----------------
|2||0010||2
|-----------------
|3||0011||3
|-----------------
|4||0100||4
|-----------------
|5||0101||5
|-----------------
|6||0110||6
|-----------------
|7||0111||7
|-----------------
|8||1000||8
|-----------------
|9||1001||9
|-----------------
|10||1010||A
|-----------------
|11||1011||B
|-----------------
|12||1100||C
|-----------------
|13||1101||D
|-----------------
|14||1110||E
|-----------------
|15||1111||F
|}
====Fracções====
As fracções, no seu desenvolvimento hexadecimal, não são exactas a menos que o denominador seja potência de 2. Contudo, os períodos não costumam ser muito complicados.
:1/2 = 0,8
:1/3 = 0,55...
:1/4 = 0,4
:1/5 = 0,33...
:1/6 = 0,2AA...
:1/7 = 0,249249...
:1/8 = 0,2
:1/9 = 0,1C1C...
:1/A = 0,199...
:1/B =
:1/C = 0,155...
:1/D =
:1/E = 0,1249249...
:1/F = 0,11...
====Tabela de multiplicação====
{| border="1"
|-----
| <strong></strong> || <strong>1</strong>
| <strong>2</strong>
| <strong>3</strong> || <strong>4</strong>
| <strong>5</strong>
| <strong>6</strong> || <strong>7</strong>
| <strong>8</strong>
| <strong>9</strong> || <strong>A</strong>
| <strong>B</strong>
| <strong>C</strong> || <strong>D</strong>
| <strong>E</strong>
| <strong>F</strong> || <strong>10</strong>
|-----
| <strong>1</strong> || 1 || 2 || 3 || 4
| 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || A || B || C || D
| E || F || 10
|-----
| <strong>2</strong> || 2 || 4 || 6 || 8
| A || C || E || 10 || 12 || 14 || 16 || 18 || 1A
| 1C || 1E || 20
|-----
| <strong>3</strong> || 3 || 6 || 9 || C
| F || 12 || 15 || 18 || 1B || 1E || 21
| 24 || 27 || 2A || 2D || 30
|-----
| <strong>4</strong> || 4 || 8 || C || 10
| 14 || 18 || 1C || 20 || 24 || 28 || 2C
| 30 || 34 || 38 || 3C || 40
|-----
| <strong>5</strong> || 5 || A || F || 14
| 19 || 1E || 23 || 28 || 2D || 32 || 37
| 3C || 41 || 46 || 4B || 50
|-----
| <strong>6</strong> || 6 || C || 12 || 18
| 1E || 24 || 2A || 30 || 36 || 3C || 42
| 48 || 4E || 54 || 5A || 60
|-----
| <strong>7</strong> || 7 || E || 15 || 1C
| 23 || 2A || 31 || 38 || 3F || 46 || 4E
| 54 || 5D || 62 || 69 || 70
|-----
| <strong>8</strong> || 8 || 10 || 18 || 20
| 28 || 30 || 38 || 40 || 48 || 50 || 58
| 60 || 68 || 70 || 78 || 80
|-----
| <strong>9</strong> || 9 || 12 || 1B || 24
| 2D || 36 || 3F || 48 || 51 || 5A || 63
| 6C || 75 || 7E || 87 || 90
|-----
| <strong>A</strong> || A || 14 || 1E || 28
| 32 || 3C || 46 || 50 || 5A || 64 || 6E
| 78 || 82 || 8C || 96 || A0
|-----
| <strong>B</strong> || B || 16 || 21 || 2C
| 37 || 42 || 4E || 58 || 63 || 6E || 79
| 84 || 8F || 9A || A5 || B0
|-----
| <strong>C</strong> || C || 18 || 24 || 30
| 3C || 48 || 54 || 60 || 6C || 78 || 84
| 90 || 9C || A8 || B4 || C0
|-----
| <strong>D</strong> || D || 1A || 27 || 34
| 41 || 4E || 5D || 68 || 75 || 82 || 8F
| 9C || A9 || B6 || C3 || D0
|-----
| <strong>E</strong> || E || 1C || 2A || 38
| 46 || 54 || 62 || 70 || 7E || 8C || 9A
| A8 || B6 || C4 || D2 || E0
|-----
| <strong>F</strong> || F || 1E || 2D || 3C
| 4B || 5A || 69 || 78 || 87 || 96 || A5
| B4 || C3 || D2 || E1 || F0
|-----
| <strong>10</strong> || 10 || 20 || 30 || 40
| 50 || 60 || 70 || 80 || 90 || A0 || B0
| C0 || D0 || E0 || F0 || 100
|}
====Busca de números primos====
A busca de números primos na base 16 é menos eficiente que em base 10. Um [[número primo]] pode acabar em qualquer destas oito cifras: 1, 3, 5, 7, 9, B, D ou F.
A única excepção é o número primo 2.
==Resumo==
*Desde que o ser humano necessitou contabilizar os objetos de seu cotidiano e realizar operações sobre os valores obtidos, ele desenvolveu sistemas numéricos diversos. Entre os diversos sistemas desenvolvidos em todas as épocas, o mais proeminente em nossa sociedade moderna é o '''sistema decimal''', ou seja, o sistema formado por digítos entre 0 e 9, contabilizados de 10 em 10, e cuja combinação pode constituir todos os números possíveis. Porém existem outros sistemas numéricos, utilizados para diversos fins.
*Sistema numérico posicional é o nome dado a um sistema onde os números tem a propriedade variar o seu valor dependendo da posição em que ocupa dentro de uma ordem de valores. Como exemplo, podemos considerar o número 101. O número 1 não representa 1, mas sua posição representa 100 e é diferente do último 1 que representa apenas 1 unidade.
*A base de um sistema numérico é a quantidade de algarismos utilizados para sua representação. Em nossa atual sociedade a base mais utilizada é a base 10 (decimal) onde contamos com 10 algarismos para representação numérica - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Porém existem outras bases de numeração como a base 12, base 60, base 2 (binária) e base 16 (hexadecimal).
*O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das cifras: zero e um (0 e 1).
*Sistema Octal é um sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7
==Exercícios==
==Bibliografia e referências externas==
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