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Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: diferenças entre revisões

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Linha 4:
==Séries numéricas infinitas==
 
Uma '''série infinita''' é uma expressão definida pelos termos de uma sequência infinita. Se tivermos uma sequência <math>a_n</math> definimos a série <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_n</math> como a soma de <math>a_1+a_2+a_3+...a_n+...</math>.
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
 
==Somas parciais==
<math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots</math>▼
Dada uma série <math>\sum a_n</math>, se a sequência de somas parciais <math>S_n</math>, for convergente, ou seja, seu <math>\lim_{n \to \infty}S_n=L</math>, sendo L um número pertencente aos reais, então temos que <math>\sum a_n</math> é convergente. Caso contrário, <math>\sum a_n</math> é divergente.
 
Exemplo: <math>\sum_{n=1}^{\infty} n</math>. Considerando a sequência de n como a sequência dos números inteiros positivos, sabemos que a série se constitui por 1+2+3+4+...+n+... À partir deste ponto consideramos que :
===Seqüência das somas parciais===
 
Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde
 
: <math>S_1 = a_11</math>
: <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2</math>
: <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3</math>
: <math>\vdots</math>
: <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n</math>
 
<math>S_2=1+2=3</math>(soma dos dois primeiros termos)
===Série convergente===▼
 
<math>S_3=1+2+3=6</math> (soma dos três primeiros termos)
'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais.
 
<math>S_4=1+2+3+4=10 </math>(soma dos quatro primeiros termos) e assim sucessivamente.
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> &lt; <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S
* Caso contrário, a série diverge
 
===Critério do termo geral===
 
Observamos que <math>S_n \to \infty</math> quanto mais <math>n \to \infty</math>. Como a série não converge para nenhum número real consideramos que a série é ''divergente''.
Se <math>\sum a_n</math> é uma série convergente, então
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math>▼
 
▲===Série convergente=geométrica==
===Teste da divergência===
A '''série geométrica''' é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:
▲:<math>\sum_{n=10}^{+\infty} a_n r^{n}= a_1 1+ a_2 r+ a_3 r^2+ \ldots r^3+ a_n + \ldots</math>
 
Esta série é convergente se e somente se <math>|r|<1</math> e, neste caso, a soma vale:
Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0</math>, então
a série :<math>\sum a_nsum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}</math> diverge.
 
===Séries geométricasConvergência ===
Da teoria das progressões geométricas, temos que:
São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}</math>.
:<math>\sum_{n=0}^{N}r^{n} = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} = \frac{1}{1-r}- \frac{r^{N+1}}{1-r}</math>
 
É facil ver que se <math>|r|<1</math> então esta série é convergente e sua soma é dada por:
A série geométrica:
▲:<math>\lim_sum_{n \to =0}^{\infty} a_n r^{n}= 0\frac{1}{1-r}</math>
 
* Converge se e só se <math>a = 0</math> ou <math>|r| < 1</math>.
* Se <math>a = 0</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0</math> (independentemente do valor de <math>r</math>). Se <math>|r| < 1</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}</math>.
 
===Propriedades de séries===
 
* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge
* Se <math>\sum a_n</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0</math> converge)
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.
 
Por outro lado, se <math>|r|\ge 1</math>, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.
 
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