Análise real/Unicidade dos números reais: diferenças entre revisões

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Linha 37:
 
==== Lema ====
Se <math>\mathbb{F}\,</math> é um corpo ordenado, então existe uma função bijetiva <math>\phi: \mathbb{Q} \intoto Q' \subseteq \mathbb{F}\,</math> que é um isomorfismo de corpos ordenados.
 
Prova do lema:
Linha 49:
: <math>\phi(0) = 0'\,</math>
Por indução,
: <math>\forall n \in <math>\mathbb{N}, \phi(n+1) = \phi(n) + 1'\,<\math>
Generalizando para inteiros negativos:
: <math>\forall n \in <math>\mathbb{N}^{*}, \phi(-n) = -\phi(n)\,</math>
Generalizando para os números fracionários:
: <math>\forall p, q \in <math>\mathbb{Z}, q > 1, \phi(p/q) = \phi(p) / \phi(q)\,</math>
 
Para demonstrar que &phi; é um isomorfismo de corpos ordenados, temos:
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q = 1, \phi(p/q) = \phi(p)/1' = \phi(p)/\phi(q)\,</math>
e
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q < 0, \phi(p/q) = \phi(-(p/(-q))) = -\phi(p/(-q)) = -\phi(p)/\phi(-q) = - \phi(p)/(-phi(q)) = \phi(p/q)\,</math>
Logo:
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0, \phi(p/q) = \phi(p)/\phi(q)
 
Prova-se por indução que:
:<math>\forall n, m \in \mathbb{N}, \phi(n + m) = \phi(n) + \phi(m)\,</math>
Para m = 0:
:<math>\phi(n + 0) = \phi(n) = \phi(n) + 0'\,</math>
Hipótese de indução:
:<math>\phi(n + m) = \phi(n) + \phi(m)\,</math>
Para m + 1:
:<math>\phi(n + m + 1) = \phi(n + m) + 1' = \phi(n) + \phi(m) + 1' = \phi(n) + \phi(m+1)\,</math>
 
.... ainda falta continuar isso ....