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A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função <math>\phi</math> entre os corpos <math>\mathbb{F}</math> e <math>\mathbb{K}</math> e então provar que essa função é um isomorfismo;
Antes disso, será provado um lema mais simples
==== Lema ====
Se <math>\mathbb{F}\,</math> é um corpo ordenado, então existe uma função bijetiva <math>\phi: \mathbb{Q} \to Q' \subseteq \mathbb{F}\,</math> que é um isomorfismo de corpos ordenados.
Prova do lema:
Para deixar explícito que <math>\mathbb{F}\,</math> é um conjunto qualquer, serão usados ''0' e 1' '', respectivamente, para os elementos neutros aditivos e multiplicativos em <math>\mathbb{F}\,</math>.
A função φ será o único isomorfismo satisfazendo
: <math>\phi(1) = 1'\,</math>
A sua existência pode ser demonstrada construíndo-a:
: <math>\phi(0) = 0'\,</math>
Por indução,
: <math>\forall n \in \mathbb{N}, \phi(n+1) = \phi(n) + 1'\,<\math>
Generalizando para inteiros negativos:
: <math>\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \phi(-n) = -\phi(n)\,</math>
Generalizando para os números fracionários:
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q > 1, \phi(p/q) = \phi(p) / \phi(q)\,</math>
Para demonstrar que φ é um isomorfismo de corpos ordenados, temos:
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q = 1, \phi(p/q) = \phi(p)/1' = \phi(p)/\phi(q)\,</math>
e
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q < 0, \phi(p/q) = \phi(-(p/(-q))) = -\phi(p/(-q)) = -\phi(p)/\phi(-q) = - \phi(p)/(-phi(q)) = \phi(p/q)\,</math>
Logo:
: <math>\forall p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0, \phi(p/q) = \phi(p)/\phi(q)
Prova-se por indução que:
:<math>\forall n, m \in \mathbb{N}, \phi(n + m) = \phi(n) + \phi(m)\,</math>
Para m = 0:
:<math>\phi(n + 0) = \phi(n) = \phi(n) + 0'\,</math>
Hipótese de indução:
:<math>\phi(n + m) = \phi(n) + \phi(m)\,</math>
Para m + 1:
:<math>\phi(n + m + 1) = \phi(n + m) + 1' = \phi(n) + \phi(m) + 1' = \phi(n) + \phi(m+1)\,</math>
.... ainda falta continuar isso ....
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> são corpos, então existe <math>0,1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0',1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos:
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