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Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões

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Dados dois conjuntos não vazios <math>E</math> e <math>F</math>, uma relação binária de <math>E</math> em <math>F</math>, é um subconjunto qualquer de <math> E \times F </math>. Se <math> R </math> é uma relação binária e um determinado par <math> (a,b) \in R </math> então dizemos que <math> a </math> está relacionado com <math> b </math> por <math> R </math>, e neste caso também podemos escrever <math> aRb </math>. É comum também a representação de relações por símbolos tais como <math> \equiv </math>, <math> \approx </math>, <math> \sim </math>. Quando os conjuntos <math> E </math> e <math> F </math> são iguais, escrevemos simplesmente <math> <E,R> </math>, para indicar que <math> R </math> é uma relação binária de <math> E </math> em <math> E </math>, e dizemos que <math> R </math> é uma relação sobre <math> E </math>.
A relação binária é uma relação entre elementos de um conjunto, envolvendo um símbolo pelo qual é estabelecida uma relação entre seus elementos. De fato, temos os elementos a,b; que irão se relacionar em uma certa ordem (a,b) e que vai ser determinada pelo símbolo correspondente. Seja A o conjunto e sejam a,b,c representando todos os seus elementos, e que # seja o símbolo; dizer que A possui uma relação binária, é dizer que seus elementos possuem uma relação dependende do símbolo com cada elemento do conjunto. Assim (a,b), têm-se a # b; (b,c) têm-se c # b; (a,c) têm-se a # c;... Se o conjunto A possui uma relação binária envolvendo o símbolo #, definamos assim <A,#>
 
*Por exemploExemplo: Tomemos o conjunto dos números reais <math> < \mathbb{R}, </math> e a relação <math> \le> </math>, significando que cadaum elementocerto realnúmero possui<math> umaa relação</math> está relacionado com cadaoutro elementonúmero do<math> própriob conjunto</math> se (e somente se) <math> a \le b </math>. Assim, claramente <math> 1 \le 2; 10 \le 80; -1/2 \le 0,789; ...\dots </math>. PodemosDe dizeroutra porforma, simplicidadedizemos que 1 está relacionado com 2, 10 está relacionado com 80. Claro que existem pares ordentados <math> <\mathbb{R}(a,\le>b) </math> éque umanão relaçãofazem binária,parte poisdesta todorelação. elementoComo realpor possuiexemplo umaos relaçãopares de<math> menor(100,1); ou(5,-3); igual\dots com qualquer outro elemento</math> real
 
*Analogamente, <math> < \mathbb{R}, < > </math> também é uma relação binária.
 
=== [[w:relação de equivalência|Relação de Equivalência]] ===
Tomemos umuma subconjuntorelação Sbinária de<math> AxA\approx </math> sobre uma conjunto não vazio A. SA relação <math> \approx </math> têmé uma relação de equivalência sobre A se:
* ([[w:reflexividade|reflexividade]]) <math> (x,x) \inapprox Rx \;</math> \forallpara \;todo <math> x \in A </math>;
* ([[w:simetria|simetria]]) Se <math> (x,y) \inapprox Ry <\Rightarrowmath>, então <math> (y,x) \in Rapprox x </math>;
* ([[w:transitividade|transitividade]]) Se <math> (x,y) \inapprox R,y </math> e <math> (y,z) \inapprox Rz </math>, \Rightarrowentão <math> (x,z) \in Rapprox z </math>;.
 
 
Uma relação <math>=</math> é chamada de '''relação de equivalência''' se forem satisfeitos os seguintes axiomas:
A relação <math>=</math> sobre o sonjunto <math> \mathbb{N} </math> é uma relação de equivalência. De fato:
# Reflexividade
#:<math>\forall n\in\mathbb{N},\ n=n</math>
# Simetria
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ n=m \Leftrightarrow m=n </math>
# Transitividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n=m) \and (m=l) \Rightarrow (n=l)</math>.
 
Estas declarações matematicamente concisas podem ser descritas em uma forma menos rigorosa. A primeira declaração afirma simplesmente que cada número natural é igual a si próprio. A segunda afirma que a declaração da igualdade é válida independentemente da ordem em que você diga isso. A última declaração diz que quando dois números naturais são iguais e um deles é igual a qualquer outra coisa pode-se concluir que os três são iguais. Estas são as premissas simples que fazemos quando falamos informalmente de igualdade. Esta pequena lista dá-nos uma forma de verificar se uma certa "igualdade" satisfaz nossas expectativas do que significa dizer que duas coisas são iguais.
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Álgebra_abstrata/Números_naturais"