Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões
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=== Números naturais ===
É o conjunto básico de análise <math>\mathbb N=\{0, 1,2,3,\ldots\}</math> (
Pode-se definir os números naturais de duas formas:
== Relação Binária ==▼
# axiomaticamente
São dados axiomas que os números naturais satisfazem; normalmente, estes são os Axiomas de Peano. Mostra-se, em seguida, que existe um modelo para eles. Mostra-se que este modelo é "único" no sentido matemático; a "unicidade" significa que qualquer outro objeto com os mesmos axiomas será essencialmente igual)Este conjunto é definido por suas propriedades.
# construtivamente
A partir da teoria (por exemplo, a teoria dos conjuntos segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel) constrói-se o conjunto dos números naturais, e provam-se os seus axiomas.
▲== Relação Binária ==
Dados dois conjuntos não vazios <math>E</math> e <math>F</math>, uma relação binária de <math>E</math> em <math>F</math>, é um subconjunto qualquer de <math> E \times F </math>. Se <math> R </math> é uma relação binária e um determinado par <math> (a,b) \in R </math> então dizemos que <math> a </math> está relacionado com <math> b </math> por <math> R </math>, e neste caso também podemos escrever <math> aRb </math>. É comum também a representação de relações por símbolos tais como <math> \equiv </math>, <math> \approx </math>, <math> \sim </math>. Quando os conjuntos <math> E </math> e <math> F </math> são iguais, escrevemos simplesmente <math> <E,R> </math>, para indicar que <math> R </math> é uma relação binária de <math> E </math> em <math> E </math>, e dizemos que <math> R </math> é uma relação sobre <math> E </math>.
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==== Propriedades da adição ====
O conjunto <math>\mathbb{N}^{*}</math> e a operação de adição <math>+\ </math> satisfazem os seguintes axiomas:
# Fechamento
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ (n+m)\in\mathbb{N}</math>
# Comutatividade
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ n+m=m+n</math>
# Associatividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ n+(m+l)=(n+m)+l</math>
#:Significa que podemos inequivocamente escrever <math>n+m+l</math>
# Boa ordenação
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ n<n+m</math>
# Lei do corte (ou cancelamento)
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ m+n=m+p \Rightarrow n=p</math>
# Tricotomia
#:<math>\forall p,q,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (m=n) \or (n+q=m) \or (n=m+p) </math>
# Monotonicidade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (n<m)\Rightarrow n+l<m+l </math>
Essas propriedades significam o seguinte: se acrescentarmos dois números naturais positivos o resultado é um número natural positivo. A ordem em que é feita a adição de dois números não é importante e se eu adicionar dois números naturais positivos, a soma é maior do que qualquer deles. Este é o nosso conceito de adição de números positivos simplificado para as premissas básicas. Há apenas mais um pressuposto necessário para trazer à uma existência bem definida os números naturais positivos como os conhecemos: o conjunto dos números naturais positivos não é vazio. Podemos nomear o menor elemento de <math>\mathbb{N}^{*}</math> como sendo o número 1.
:<math>\exists 1\in\mathbb{N}^{*}:1\le n,\ \forall n\in\mathbb{N}</math>
Esta declaração apenas diz que 1 existe e é inferior ou igual a qualquer outro número natural positivo. Com estes pressupostos, poderemos ir em frente e derivar todas as propriedades de <math>\mathbb{N}^{*}</math>.
==== Propriedades da multiplicação ====
Sobre os números naturais positivos, podemos definir um segundo operador, a multiplicação <math>\times</math>. O conceito de multiplicação sobre <math>\mathbb{N}^{*}</math> é simplesmente uma abreviação para a adição repetida. Aqui estão os axiomas da multiplicação.
# Fechamento
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ n\times m\in\mathbb{N}</math>
# Identidade
#:<math>\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ n\times 1=n</math>
# Comutatividade
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ n\times m=m\times n</math>
# Associatividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (n\times m)\times l=n\times (m\times l)</math>
#: Significa que podemos inequivocamente escrever <math>n\times m\times l</math>
# Distributividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l</math>
# Boa ordenação
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N}^{*},\ m\le n\times m</math>
# Lei do corte (ou cancelamento)
#: <math>\forall n,m,l\in\mathbb{N}^{*},\ (n\times l = m \times l) \implies (n=m) </math>
# Monotonicidade
#: <math> m<n \Rightarrow m \times p < n \times p </math>
O primeiro axioma diz que o resultado da multiplicação entre dois números naturais positivos é também um número natural positivo. Outro deles indica que qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo. Os dois últimos dizem como a multiplicação se comporta em relação à adição e à ordenação sobre <math>\mathbb{N}</math>. Escrever sempre <math>n\times m</math> para multiplicação é entediante, por isso a abreviaremos como <math>nm\ </math>. Além disso, abreviaremos também repetidos produtos de um mesmo número usando um índice logo acima do número, indicando quantas vezes o mesmo é repetido. Por exemplo:
:<math>n\times n\equiv n^2\ </math>
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Suplente derivação do '''conjunto de números naturais'''; pode ser caracterizado por alguns axiomas chamado de '''Peano''' ou '''axiomas de Peano Dedekind '''. Uma ligeira modificação das definições de adição e multiplicação nos axiomas de Peano construiria um conjunto diferente, onde o elemento "0" a ser descrita poderia ser efetivamente algum número natural diferente de 0. Estes axiomas podem, assim, servir como a definição do conjunto de números naturais.
#<math>\exists0\in\mathbb{N}
#: Existe um elemento chamado de "0" dentro do conjunto dos números naturais.
#<math>\forall x\in\mathbb{N}
#: Todo número natural tem um sucessor, que também é um número natural.
#<math>\forall x\in \mathbb{N}
#: Não há número natural cujo sucessor é 0.
#<math>\forall x,y\in\mathbb{N}
#: O sucessor de um elemento é único.
#<math> (0 \in A) \and (x \in A) \implies ( S_x \in A ) \implies \mathbb {N}
#: '''[[w:Indução matemática|Indução matemática]]''': se 0 está dentro do conjunto e ''n'' esta dentro do conjunto, implica que o seu sucessor também estará dentro do conjunto e, em seguida, todos os números naturais estão dentro do conjunto.
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O elemento básico não tem necessariamente de ser uma identidade para adição. Com efeito, se as definições de adição e multiplicação, foram definidas de maneira diferente, em seguida, o elemento básico é comumente escrito "1".
#<math>\exists 1\in\mathbb{N}^{*}</math>
#:1 é um elemento do conjunto
#<math>\forall x\in\mathbb{N}^{*}\implies (x+1)\in\mathbb{N}\ </math>
#:Para qualquer número natural x a soma de x com 1 também é um número natural
#<math>\forall x\in\mathbb{N}^{*}\ x+1\ne x</math>
#:A soma de qualquer número natural x com 1 é diferente de x
#<math>\forall x,y\in\mathbb{N}^{*}\ x+1=y+1\implies x=y</math>
#:Adicionando 1 de um modo único
#<math>(1\in A)\and(x\in A)\implies (x+1)\in A\implies \mathbb{N}^{*}\subset A </math>
#:'''[[w:Indução matemática|Indução matemática]]:''' Se 1 é um elemento do conjunto A e para qualquer elemento x de A a soma de x com 1 também está no conjunto então todos os números naturais estão no conjunto A.
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* Seja o conjunto <math>S_n=n\cup\{n\}</math>
*: O sucessor de um número natural ''n'' é a união do conjunto associado com ''n'' e ''o conjunto contendo n''. Assim, cada número natural é um conjunto contendo os seus predecessores. Por exemplo, 1 é (0), 2 é (0,1), 3 é (0,1,2), e assim por diante.
*<math>\exists\mathbb{N}
*: Existe um conjunto chamado <math>\mathbb{N}
Esta construção dos números naturais obviamente satisfaz os três primeiros axiomas de Peano. O fato de S<sub>x</sub> = S<sub>y</sub> <math>\implies</math> x = y pode ser visto facilmente pelo fato de que <math>x\cup\{x\}=y\cup\{y\} \implies x=y</math>. O quinto axioma de Peano detém porque se <math>\empty\in A\and\left(\forall x\in A\ x\cup\{x\}\in A\right)</math>, então este seria definido como sendo os números naturais e, por isso, o natural seria um número trivial do subconjunto A.
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