Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões
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{{Navegação/Simples|
==Operadores especiais==
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
=== Definição ===▼
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>)
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)
==Operador auto-adjunto==
{{Definição|texto=
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T</math>.
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A</math>.
* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
'''Prove''':
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
* Seja <math>T: V \rightarrow V</math>, com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R</math>.
==Operador unitário==
'''Definição''':
{{Definição|texto=
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}</math>.
}}
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>
'''Prove''':
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno)
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário
==Operador normal==
'''Definição''':
{{Definição|texto=
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T</math>.
}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>
'''Prove''':
* Todo operador auto-adjunto é normal
* Todo operador unitário é normal
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
==Subespaço invariante==
'''Definição''':
{{Definição|texto=
'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>.
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.
'''Prove''':
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W</math>.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
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