Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões
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{{Navegação/Simples|
{{Rdc}}
===Funcionais
{{Definição|texto=▼
'''Definição''':
Uma função <math>T : V \to W</math>, onde <math>V</math> e <math>W</math> são espaços vetoriais sobre um corpo <math>K</math>, é dita uma ''transformação linear'' se, para todos <math>u, v \in V</math> e para todo <math>\lambda \in K</math>, tem-se▼
: <math>T(u + v) = T(u) + T(v)</math>▼
▲
: <math>T(\lambda u) = \lambda \, T(u)</math>▼
}}
{{Teorema
|;Teorema da existência e unicidade
Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math>
}}
{{Teorema
|;Teorema da base dual
Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}
'''Definições''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math>
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
'''Corolários''':
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
==Teoremas==
{{Teorema
|;Teorema de representação dos funcionais lineares
Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno, e
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
}}
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
==Adjunto de um operador linear==
'''Definição''':
{{Definição
|Seja '''V''' um espaço vetorial.
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
}}
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
{{Teorema
|;Proposição
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
{{Teorema
|;Corolário
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
}}
{{Esboço|Matemática}}
{{AutoCat}}
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