Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões

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{{Navegação/Simples|Transformações linearesIsomorfismos|Espaço linha e espaçoOperadores colunaespeciais}}
 
{{Rdc}}
== Núcleo ==
 
===Funcionais Lineares===
 
{{Definição
|SejaUma função <math>Tf: V \torightarrow K W\,</math>, umaonde transformaçãoV linearé entreum osespaço espaçosvetorial vetoriaissobre ''V'K' e ''W''., Oé '''núcleo'''chamada dade transformaçãofuncional linear se, '''Ker(T)'''<math>\forall u, év a\in imagemV</math> inversae do<math> vetor\forall nulo\lambda em\in WK</math>:
 
: <math>Kerf(T)u = \{+ v) \in= Vf(u) |+ Tf(v) = 0 \} \,</math>
:<math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math>
}}
 
'''Teorema'''
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
 
'''{{Teorema'''
A demonstração é simples:
|;Teorema da existência e unicidade
* ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>''
* Se <math>v, w \in Ker(T)\,</math>, então ''T(v) = T(w) = 0'', logo, pela linearidade de ''T'', ''T(v + w) = 0'' e <math>v + w \in Ker(T)\,</math>
* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,</math>, temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,</math>, ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math>
 
Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é
== Ver também ==
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math>
=== Wikipédia ===
}}
* [http://pt.wikipedia.org/wiki/Transformação_linear#N.C3.BAcleo Núcleo da transformação linear]
 
{{Esboço|Matemática}}
 
{{Teorema
|;Teorema da base dual
 
Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}
 
{{Definição
|:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math>
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
 
'''Corolários''':
 
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
==Teoremas==
{{Teorema
|;Teorema de representação dos funcionais lineares
 
Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno, e
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle</math>, <math>\forall v \in V</math>.
}}
 
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
==Adjunto de um operador linear==
 
{{Definição
|Seja '''V''' um espaço vetorial.
 
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
 
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
}}
 
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
 
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
 
:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
{{Teorema
|;Proposição
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
 
 
{{Teorema
|;Corolário
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
}}
 
{{Esboço|Matemática}}
{{AutoCat}}