Teoria de números/Equações diofantinas: diferenças entre revisões
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Linha 19:
O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.
{{Teorema
|Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, existem <math>x,y \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>ax+by = n\,\!</math> se, e somente se, <math>d = (a,b)|n\,\!</math>.
Além disso, se <math>(x_0,y_0)\,\!</math> é solução, então todas as soluções são da forma:
Linha 167:
Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema
=== Teorema ===
{{Teorema
|Um número inteiro <math>n\,\!</math> pode ser escrito como a diferença de dois quadrados perfeitos, <math>n = x^2 - y^2\,\!</math>, se e somente se <math>n\,\!</math> é ímpar ou múltiplo de <math>4\,\!</math>.
}}
{{Demonstração
|A argumentação precedente mostrou que se <math>n = x^2 - y^2\,\!</math> então <math>n=u\cdot v\,\!</math>, sendo que <math>u,v\,\!</math> têm a mesma paridade.
Reciprocamente, se <math>u,v\,\!</math> têm a mesma paridade, então sua soma e sua diferença são números pares, significando que o sistema
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