Teoria de números/Máximo divisor comum: diferenças entre revisões
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Linha 7:
== Divisores comuns ==
{{definição
|Um ''divisor comum'' de <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> é um número inteiro que é divisor tanto de <math>a\,\!</math> quanto de <math>b\,\!</math>.
}}
Linha 26:
=== Definição de MDC ===
{{Definição
|O ''máximo divisor comum'' (abreviadamente MDC) entre dois números inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>, em que pelo menos um deles não é zero, é o maior elemento do conjunto <math>D(a,b)\,\!</math>, e será denotado por <math>mdc(a,b)\,\!</math>, ou simplesmente <math>(a,b)\,\!</math>.
}}
{{Wikipedia|Números primos entre si}}
Linha 42:
== Teorema de Bézout ==
{{Teorema
|Se <math>d=mdc(a,b)\,\!</math>, então existem inteiros <math>x\,\!</math> e <math>y\,\!</math> tais que <math>d=ax+by\,\!</math>.
}}
{{Wikipedia|Identidade de Bézout}}
Linha 51:
=== Corolário ===
{{Teorema
|Se <math>m|ab\,\!</math> e <math>(a,m)=1\,\!</math> então <math>m|b\,\!</math>.
}}
Linha 67:
=== Propriedade fundamental dos primos ===
{{Teorema
|Se um número primo divide o produto de dois números inteiros, então ele é divisor de um dos dois.
}}
Linha 155:
Consulte a [[Teoria de números/Bibliografia|Bibliografia]]}}
{{Teorema
|Dados <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, com <math>a\ge b\ge 0\,\!</math>, verifique se <math>b=0\,\!</math>. Em caso afirmativo, o máximo divisor comum é o próprio <math>a\,\!</math>. Caso contrário, repita o processo usando <math>b\,\!</math> e o resto da divisão de <math>a\,\!</math> por <math>b\,\!</math>. Simbolicamente:
'''Dados de entrada'''
Os inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>.
Linha 296:
A primeira destas equções corresponde ao teorema de Bézout, com <math>x = \Delta v\,\!</math> e <math>y = -\Delta u\,\!</math>. Já a segunda, implica em <math>b'a = a'b\,\!</math>. Esse valor coincide com o conhecido ''mínimo múltiplo comum entre <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>'', definido a seguir:
{{Definição
|O ''mínimo múltiplo comum'' dos inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>, <math>mmc(a,b)\,\!</math>, é o menor elemento positivo do conjunto <math>M(a,b) = \{ x \in \mathbb{Z}: a,b | x\}\,\!</math>
}}
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