Teoria de números/Números primos: diferenças entre revisões

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|Todo número inteiro positivo tem decomposição em fatores primos.
}}
{{Demonstração|;Demonstração
|Dado um número inteiro <math>n\,\!</math>, vamos mostrar por [[w:Indução matemática|indução]] que <math>n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r\,\!</math>, com cada <math>p_j\,\!</math> sendo um número primo.
 
Dado um número inteiro <math>n\,\!</math>, vamos mostrar por [[w:Indução matemática|indução]] que <math>n=p_1\cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r\,\!</math>, com cada <math>p_j\,\!</math> sendo um número primo.
 
De fato, para <math>n=2\,\!</math>, o teorema é válido, pois basta tomar <math>p_1=2\,\!</math>.
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Da mesma forma como foi demonstrado que todo número inteiro possui uma decomposição em fatores ''primos'', pode-se provar que todo elemento de <math>2\mathbb{Z}\,\!</math> possui uma decomposição em fatores ''irredutíveis''.
{{Prova}}
 
{{Demonstração}}
 
Uma última consideração a respeito do conjunto <math>2\mathbb{Z}\,\!</math> (e que justifica a escolha do mesmo para este exemplo), é que embora todos os seus elementos admitam uma fatoração em irredutíveis, ''pode haver mais de uma decomposição para um mesmo número''. Veja:
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}}
=== Demonstração de Euclides ===
{{Demonstração|
|Considere um conjunto finito de números primos, contendo uma quantidade arbitrária de elementos. Denote tal conjunto por <math>P = \{ p_1, \ldots, p_r\}\,\!</math>.
 
Seja <math>n = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r + 1\,\!</math>. Como <math>n\in \mathbb{N}\,\!</math>, então <math>n\,\!</math> tem algum fator primo <math>p\,\!</math>, ou seja, <math>p|n\,\!</math>.
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A demonstração acima pode ser adaptada para mostrar que o monóide de Hilbert <math>H\,\!</math> possui infinitos elementos irredutíveis. Observe:
{{Demonstração|
|Se <math>\{ b_1, \ldots, b_r\}\,\!</math> são elementos irredutíveis de <math>H\,\!</math>, então <math>n = 4 (b_1, \ldots, b_r) + 1 \,\!</math> é também um elemento de <math>H\,\!</math> (por quê?), e portanto possui decomposição em fatores irredutíveis em <math>H\,\!</math>.
 
Seja <math>b\,\!</math> um dos fatores que aparecem na decomposição de <math>n\,\!</math>.
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=== Demonstração de Hermite ===
Esta demonstração, assim como algumas outras, é uma variante daquela dada por Euclides. Acompanhe:
{{Demonstração|
|Para cada número natural <math>n\,\!</math>, defina-se <math>x(n)=n!+1\,\!</math>.
 
Como qualquer outro número natural, <math>x(n)\,\!</math> possui algum fator primo <math>p\,\!</math>. No entanto, este fator não pode ser divisor de qualquer número menor ou igual a <math>n\,\!</math>, pois neste caso, dividiria também <math>n!\,\!</math>, e consequentemente seria divisor de <math>1 = x(n) - n!\,\!</math>.
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=== Demonstração de Saidak ===
{{Demonstração|
|Esta demonstração foi publicada recentemente pelo pesquisador Filip Saidak, em seu artigo ''[[../Bibliografia|A new proof of Euclid’s theorem]]'' de 2006. A prova consiste no seguinte:
 
Forma-se uma sequência crescente de números <math>N_1,\ldots N_k,\ldots\!</math>, de tal modo que cada termo <math>N_k\,\!</math> tenha pelo menos <math>k\,\!</math> fatores primos. Dessa forma, inevitavelmente, conclúi-se que existem infinitos números primos.
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=== Demonstração do teorema fundamental da aritmética ===
{{Demonstração|
|A prova será feita por indução.
Se <math>k=2\,\!</math>, o resultado é imediato, então considere que o mesmo vale para todo número inteiro menor que <math>k = n\,\!</math>.
 
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Essa função oferece uma forma "elegante" de se fazer certas demonstrações. Por exemplo, a irracionalidade de <math>\sqrt{2}\,\!</math> é provada assim:
{{Demonstração|
|Se <math>\sqrt{2}\,\!</math> fosse racional, poderia ser escrito como <math>\sqrt{2}= \frac{a}{b}\,\!</math>, sendo que <math>a,b \in \mathbb{Z}\,\!</math>, e <math>b\not=0\,\!</math>.
 
Neste caso, seria verdade que <math> \left(\frac{a}{b}\right)^2=2\,\!</math>, ou seja, <math>a^2 = 2b^2\,\!</math>.
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A resposta é afirmativa, e o motivo você encontrará nesta seção. Veja:
{{Demonstração|
|Suponha que <math>p|ab\,\!</math>. Então, pela definição de divisibilidade, existe algum número inteiro <math>x\,\!</math> tal que <math>ab=px\,\!</math>.
 
Mas <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> possuem decomposição em fatores primos, então: