Análise real/Unicidade dos números reais: diferenças entre revisões

Existem várias maneira de se construir o conjunto <math>\mathbb{R}</math> dos números reais, umaportanto questãoé importante é descobrir se estamosdiferentes criandomaneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos diferentescom quandopropriedades criamosdistintas. <math>\mathbb{R}</math>Como veremos a seguit, construir os reais usando Cortescortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, Seqüênciasem deessência, Cauchyo oumesmo qualquerconjuntos outrodos métodoreais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e '''diferentes em sua estrutura''', mas issoisto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são igualiguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois, entãoexiste ambosisomorfismo possuementre as mesmas propriedades. Para issoeles, mostraremosisto que dados dois corpos ordenados completos arquimedianosé, entãoambos estespossuem corposas sãomesmas isomorfospropriedades.

A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função <math>\phi</math> entre os corpos <math>\mathbb{F}</math> e <math>\mathbb{K}</math> e então provar que essa função é um isomorfismo;.

Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> são corpos, então existe <math>0, 1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0', 1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos: