Análise real/Espaços métricos: diferenças entre revisões
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Um '''espaço métrico''' '''(X,d)''' é um conjunto '''X''' dotado de uma função <math>d:X^2\to \mathbf{R}\,</math> chamada métrica ou distância que associa a cada par de elementos de '''X''' uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:
* <math>d(x,y)\,</math> é um número real, não negativo e finito
* <math>d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y</math>
* <math>d(x,y)=d(y,x)\,</math> (simetria)
* <math>d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)</math> (desigualdade triangular)
== Exemplos ==
* <math>(\R^n,d)</math>, onde <math>d((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sqrt{(y_1-x_1)^2+\cdots+(y_n-x_n)^2}</math>, é o espaço de dimensão <math>n\,</math> com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
* <math>(X,d)\,</math>, onde <math>d(x,y)= \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{se }x=y \\ 1, & \mbox{se }x\neq y \end{matrix} \right.</math> é denominado de espaço métrico discreto.
* Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)
==Convergência em espaços métricos==
Diz-se que uma sequência de pontos <math>x_n\in X\,</math> converge para um ponto <math>x\in X\,</math> se e somente se:
:<math>\lim_{n\to\infty}d(x,x_n)=0\,</math>
Diz-se que uma sequência de pontos <math>x_n\in X\,</math> é de Cauchy se para todo <math>\varepsilon>0\,</math>, existe um ''N'' tal que
:<math>d(x_n,x_m)<\varepsilon, \forall n,m>N\,</math>
'''Proposição:''' toda sequência convergente é de Cauchy.
Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.
'''Teorema:''' Um subconjunto fechado de um espaço métrico é um espaço métrico completo.
== Ver também ==
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