Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo [[w:Número de Fermat|número da forma <math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>]] é [[../Números primos#Definição de número primo|primo]]), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
:<math>10^k = 11\times B_k + (-1)^k \,\!</math>, para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>.
Para tal usaremos o binómio de Newton:
Uma vez que o padrão foi justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior:▼
<math>10^n=(11-1)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}11^k(-1)^{n-k}=(-1)^n+(-1)^{n-1}11+ \frac{n!}{2!(n-2)!}(-1)^{n-2}11^2...+11^n \Leftrightarrow 10^n=11\times B_n +(-1)^n</math>.
Onde <math>B_n=\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}11^{k-1}(-1)^{n-k}</math>
:<math>m = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k (11\times B_k + (-1)^k) = \sum_{k=0}^{n} 11 a_k B_k + a_k(-1)^k = 11 \sum_{k=0}^{n} a_k B_k + \sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k\,\!</math>
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