Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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→Divisibilidade por 11: apenas uns ajustes; usando k em vez de n, só para ficar consistente com a seção [YES!!! Alguém aceitou o convite para melhorar o texto!] |
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Linha 414:
No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo [[w:Número de Fermat|número da forma <math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>]] é [[../Números primos#Definição de número primo|primo]]), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
:<math>10^k = 11\times B_k + (-1)^k \,\!</math>, para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>.
Para tal usaremos o {{w|Binómio de Newton|binómio de Newton}}:
:<math>10^k=(11-1)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i}11^i(-1)^{k-i} = (-1)^k+11(-1)^{k-1}+ 11^2\frac{k!}{2!(k-2)!}(-1)^{k-2}+\ldots+11^k,</math>
ou seja, <math>10^
Uma vez que o padrão está justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior:
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