Matemática elementar/Logaritmos: diferenças entre revisões
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→Operações com logaritmos: Demonstrações (o formato está uma porcaria!) |
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Linha 26:
=== Multiplicação por constante ===
<math>k \cdot \log_{
=== Mudança de base ===
<math>\log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}</math>, para qualquer que seja a base <math>c</math> (obedecendo, obviamente, às restrições de domínio apresentadas acima).
=== Demonstrações ===
Sejam:
: <math>x = \log_c a\,</math>
: <math>y = \log_c b\,</math>
Então:
: <math>c^x = a\,</math>
: <math>c^y = b\,</math>
Aplicando propriedades da exponenciação:
: <math>c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,</math>
: <math>c^x / c^y = c^{(x - y)}\,</math>
: <math>{(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,</math>
: <math>(c^y)^{(x/y)} = c^x\,</math>
* ''Log do produto''
Da expressão
: <math>c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,</math>
concluímos que:
: <math>\log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,</math>
portanto:
: <math>\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,</math>
* ''Log da fração''
Analogamente, de:
: <math>c^x / c^y = c^{(x - y)}\,</math>
concluímos que:
: <math>\log_c (c^x / c^y) = x - y\,</math>
portanto:
: <math>\log_c (a / b) = \log_c a - \log_c b\,</math>
* ''Log da potência''
A partir de:
: <math>{(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,</math>
chegamos a:
: <math>\log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,</math>
ou seja:
: <math>\log_c a^k = k \cdot \log_c a\,</math>
* ''Mudança de base''
Da última expressão:
: <math>(c^y)^{(x/y)} = c^x\,</math>
chega-se a:
: <math>a = b^{(x/y)}\,</math>
ou seja:
: <math>\log_b a = x / y\,</math>
e, finalmente:
: <math>\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\,</math>
E temos demonstrações para as quatro propriedades básicas dos logaritmos.
== Equações envolvendo logaritmos ==
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