Probabilidade e Estatística/Probabilidade: diferenças entre revisões
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Um dos ramos da matemática que é mais importante para a Estatística é a Teoria das Probabilidades. Esta teoria, por sua vez, está bastante embasada na Teoria dos Conjuntos. Este capítulo tem por objetivo explicar os fundamentos desta teoria.
==Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos==
* O '''Espaço Amostral''' é um conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer fenômeno aleatório. Ele é representado pela letra grega maiúscula <math>\Omega</math> (Ômega).
* '''Evento''' é o nome que se dá à qualquer sub-conjunto do Espaço Amostral. Eles são representados por letras maiúsculas, como A, B, C, etc... O conjunto vazio é representado por Ø.
* Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de '''união''' (U) entre conjuntos. A União de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro.
* Outra operação que pode ser feita sobre Eventos é a '''intersecção''' (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de um E de outro.
* Diz-se que dois eventos são '''Mutualmente Exclusivos''' ou '''Disjuntos''' quando eles não possuem nenhum elemento em comum entre si. Ou seja, a ocorrência de qualquer sub-evento que compõe um dos eventos automaticamente faz com que o outro não possa ocorrer. Ou ainda: Se A ∩ B = Ø , então A e B são Disjuntos.
* Caso dois eventos sejam disjuntos, mas a sua união seja igual à todo o Espaço Amostral, significa que eles são '''complementares'''. Ou seja, eles são os únicos eventos possíveis de ocorrer. Ou ainda: Se A e B são Disjuntos e A U B = <math>\Omega</math>, então A e B são complementares. Ou ainda: A<sup>c</sup>=B e B<sup>c</sup>=A.
==Axiomas da Teoria das Probabilidades==
É possível designar à todo e qualquer evento uma '''Probabilidade'''. A Probabilidade é uma função que pode receber um evento qualquer e retornar um número real entre 0 e 1. Se a probabilidade de um evento é 0, o evento nunca irá ocorrer. Se a probabilidade é 1, então ele sempre ocorrerá. Na maioria das vezes, a função de probabilidade retorna um número entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 0 é o valor, mais difícil é para o evento acontecer. E quanto mais próximo de 1, mais provável é a ocorrência de um evento. A Teoria das Probabilidades possui os seguintes axiomas:
'''1 - ''' A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 e 1. Ou seja:
<math>0 \le P(S) \le 1</math>
'''2 - ''' A Probabilidade de ocorrer algo dentro do Espaço Amostral é 1. Ou seja:
<math>P(\omega)=1</math>
'''3 - ''' A Probabilidade de ocorrer a união de todos os Pontos Amostrais é igual à soma da Probabilidade de ocorrer cada um dos Pontos Amostrais. Ou seja:
<math> \sum_{\omega\in\Omega} P\left(\left\{\omega\right\}\right) = P\left(\bigcup_{\omega\in\Omega}\left\{\omega\right\}\right)</math>
==Propriedades da Teoria das Probabilidades==
* '''1 - '''A probabilidade de ocorrer um conjunto vazio pertencente ao conjunto de Pontos Amostrais é sempre zero. Este é um ''evento impossível''. Ou seja:
P(Ø)=0
Ou seja, no lançamento de uma moeda, onde o Espaço Amostral é "Cara" ou "Coroa", é impossível que ocorra um resultado que não é nem um e nem outro.
* '''2 - '''A probabilidade de qualquer subconjunto pertencente ao Conjunto Amostral pode ser calculada através da soma da probabilidade de seus elementos. Ou seja:
<math>P(A)=\sum{P(\omega i)}</math> tal que A pertence ao Espaço Amostral e <math>A=\{\omega 1 ; \omega 2 ; ... ; \omega n\}</math>
Ou seja, no lançamento de um dado de 6 faces, a probabilidade de ocorrer 1 ou 2 é igual à P(1)+P(2).
* '''3 - '''A probabilidade de que ocorra um evento é igual à 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento complementar. Ou seja:
<math>P(A)=1-\bar{A}</math>
Isso significa que a probabilidade de ocorrer o número 5 ou 2 no lançamento de um dado é igual à 1-(P(1)+P(3)+P(4)+P(6))
* '''4 - '''A probabilidade de acontecer a união de dois subconjuntos é a mesma da soma das probabilidades de ambos menos a probabilidade dos dois ocorrerem juntos. Ou seja:
P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
Isso significa que a probabilidade de que no lançamento de dois dados ocorram os resultados 1 ou 5 é a mesma de que ocorra o resultado 1 em um dos dados mais a probabilidade de ocorrer resultado 5 em um dos dados menos a probabilidade de que ocorram os dois juntos (esta probabilidade acaba sendo contada duas vezes na operação anterior).
* '''5 - '''Para calcular a probabilidade de um evento, basta dividir o número de Pontos Amostrais nos quais ele ocorre pelo número de pontos amostrais existentes. Isso significa que para calcular a probabilidade de ocorrer o número 3 em um dado de 6 faces, basta dividir 1(3 é apenas um ponto amostral) por 6 (número de todos os pontos amostrais existentes).
==Probabilidade Condicional==
Muitas vezes, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser dividido em etapas. A informação do que ocorre em uma etapa pode interferir na probabilidade de ocorrência da próxima etapa. Por exemplo, sabe-se que em uma caixa com 20 ovos (onde metade dos ovos são brancos e a outra metade vermelha), 8 estão quebrados. Dentre os ovos brancos, são 7 os quebrados e dentre os ovos vermelhos, 1 está quebrado. A probabilidade de que um ovo aleatório esteja quebrado é de 0,4 , pois:
(NÚMERO_DE_OVOS_QUEBRADOS)/(NÚMERO_TOTAL) = 8/20 = 0,4.
Entretanto, sabendo anteriormente que o ovo aleatório é vermelho, chegamos à conclusão que:
(NÚMERO_DE_OVOS_QUEBRADOS)/(NÚMERO_TOTAL) = (NÚMERO_DE_OVOS_VERMELHOS_QUEBRADOS/NÚMERO_TOTAL_DE_OVOS)/(NÚMERO_DE_OVOS_VERMELHOS/NÚMERO_TOTAL_DE_OVOS) = (1/20)/(10/20) = 0,05/0,5 = 0,1.
Ou seja: '''P(A|B)=P(A∩B)/P(B)''', onde P é a função de probabilidade e neste caso, A é o evento no qual o ovo está quebrado e B é o evento no qual o ovo é vermelho.
A fórmula acima também nos permite deduzir que: '''P(A∩B) = P(A|B)*P(B)'''
==Eventos Independentes==
Dois eventos são ditos '''independentes''' se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de A. Ou seja:
P(A|B)=P(A).
Ou ainda:
P(A ∩ B)=P(A)*P(B)
Perceba que se A é independente de B, então B também é independente de A.
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