Matemática elementar/Sistemas lineares: diferenças entre revisões
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A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.
== Resolução de sistemas ==
Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de [[Matemática elementar/Matrizes|matrizes]].
O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de ''n'' equações a ''n'' incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.
=== Escalonamento ===
Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:
::<math>\left\{\begin{matrix} a_{n} x_{n} + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_{1} x_{1} = b \\ c_{n-1} x_{n-1} + \cdots + c_{1} x_{1} = d \\ \vdots \\ e_{1} x_{1} = f \end{matrix} \right.</math>
Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível "zerar" uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:
::<math>\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 4x + 8y + 1z = -7 \\ -2x - 10y + 2z = 0\end{matrix}\right.</math>
Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável ''x'' nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:
::<math>\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ -8x - 16y - 2z = 14 \\ -8x - 40y + 8z = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow
\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 0x - 12y + 3z = -9 \\ 0x - 36y + 13z = -23\end{matrix}\right.
</math>
A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser ''z''. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:
::<math>\left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ -36y + 13z = -23\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ 0y + 4z = 4\end{matrix}\right.
</math>
A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:
:: <math>4z = 4 \Rightarrow z = 1\!\,</math>
Substituindo o valor encontrado para ''z'' na equação da segunda linha, temos:
:: <math>36y - 9z = 27 \Rightarrow 36y - 9(1) = 27 \Rightarrow y = 1</math>
Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:
:: <math>8x + 5y + 4z = -23 \Rightarrow 8x + 5(1) + 4(1) = -23 \Rightarrow 8x = -32 \Rightarrow x = -4</math>
A solução do sistema é, portanto, '''(-4,1,1)'''.
Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).
=== Sistemas com grau de liberdade ===
É usando na estatística
=== Método de Gauss ===
O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.
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