Álgebra linear/Matrizes: diferenças entre revisões

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{{Navegação/Simples|MatrizesSistemas de equações lineares|Transformações elementares sobre linhas}}
 
{{Rdc}}
Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra <math>k</math>.
 
== Introdução ==
==Multiplicação por um escalar==
O termo ''matriz'' pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da [[w:informática|informática]], como sendo uma [[w:estrutura de dados|estrutura de dados]]. Em [[w:matemática|matemática]], no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.
{{definição
|Intuitivamente, uma '''matriz''' é uma ''[[w:lista|lista]] de números'', dispostos em ''linhas'' e ''colunas'', ou seja, é um ''tipo de [[w:tabela|tabela]]''.
}}
Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.
{{Wikipedia|Matriz (matemática)|Matriz}}
: <math> A = \begin{pmatrix}
2 & 4&10\\
1&-3&-7\\
3&0&0\\
5&5&0
\end{pmatrix}
</math>
 
A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 &times; 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A ''forma'' de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (''m'' por ''n'', quando ''m'' é o número de linhas e ''n'' é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.
 
{{CaixaMsg|tipo=dica|style=width:50%; border:1px solid #aaa; float:right; clear:right; margin-left: 10px;|texto=
'''Para saber mais...'''
 
A ''teoria de matrizes'' estudada neste módulo está intimamente ligada com a ''[[../Sistemas de equações lineares|teoria de sistemas de equações lineares]]'' apresentada anteriormente. Os antigos chineses estabeleceram uma forma sistemática de resolver equações simultâneas. A ''teoria de equações simultâneas'' foi popularizada no oriente pelo matemático japonês [[w:Seki Kowa|Seki]] e, um pouco depois, por [[w:Gottfried Leibniz|Leibniz]], o maior rival de [[w:Isaac Newton|Newton]]. Posteriormente, [[w:Carl Friedrich Gauss|Gauss]], outro grande nome da matemática moderna, popularizou o uso de um algoritmo para a resolução de qualquer número de equações lineares simultâneas. Em sua homenagem, o processo passou a ser conhecido como {{Busca|Álgebra linear/Eliminação gaussiana|eliminação gaussiana}}<ref name="Site1">Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado [http://www.ualr.edu/lasmoller/matrices.html este site].</ref>.
}}
 
Este é um exemplo de matriz 3 &times; 3:
: <math> B = \begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9\\
\end{pmatrix}
</math>
 
Esta matriz tem a forma 5 &times; 4:
: <math> T = \begin{pmatrix}
a&b&c&d\\
h&g&f&e\\
i&j&k&l\\
p&o&n&m\\
q&r&s&t\\
\end{pmatrix}
</math>
 
Aqui, tem-se uma matriz 1 &times; 6:
: <math> V = \begin{pmatrix}
2&3&5&7&11&13\\
\end{pmatrix}
</math>
 
As matrizes são ''objetos matemáticos'' que além de permitirem uma boa ''organização espacial'' de conjuntos de dados numéricos, podem ser ''operadas'' com números (''multiplicação por escalar'') e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.
 
Uma matriz é formada por '''linhas''', que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por '''colunas''', conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um [[w:Par ordenado|par ordenado]] que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra '''m''' e o número total de colunas por '''n'''. Os valores de m e de n são as ''dimensões da matriz''.
 
[[Imagem:Matriz organizacao.png|frame|right|Organização de uma matriz]]
 
== Exemplos de matrizes ==
A matriz a seguir é uma matriz de '''ordem''' 2×3 com elementos [[Números naturais|naturais]].
 
<math>
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
</math>
 
Nesse exemplo, o elemento <math>a_{12}</math> é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.
 
De forma geral, numa matriz A de ''ordem'' m × n, o elemento <math>a_{ij}</math> é o símbolo na ''i''-ésima linha e ''j''-ésima coluna de A. Assim:.
 
<math>
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
</math>
<br>
<br>
As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices ''i'' e ''j''. Por exemplo, <math>a_{ij} = i + j,</math> para <math>i</math> de 1 a 3 e <math>j</math> de 1 a 2, define a matriz 3×2 <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}.</math>
 
Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:
 
<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 23 \\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 9\end{bmatrix}</math>
 
E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:
 
<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}</math>
 
Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra <math>k.</math>
 
== Tipos especiais de matrizes ==
* Uma '''Matriz Quadrada''' é toda aquela na qual <math>m = n.</math> Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
* Uma '''Matriz Linha''' é toda aquela na qual <math>m = 1.</math> Isto é, ela possui apenas uma linha.
* Uma '''Matriz Coluna''' é toda aquela na qual <math>n = 1.</math> Isto é, ela possui apenas uma coluna.
* Uma '''Matriz Diagonal''' é toda aquela na qual <math>m = n</math> e cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j.</math> Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
* Uma '''Matriz Escalar''' é toda aquela na qual <math>m = n</math> cujo elemento <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq j</math> e <math>A_{i,j} = X.</math> Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
* Uma '''Matriz Nula''' é toda aquela cujos elementos <math>A_{i,j} = 0.</math> Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
* Uma '''Matriz Identidade''' é toda aquela na qual <math>m = n</math> cujos elementos <math>A_{i,j} = 0</math> se <math>i \neq 0</math> e <math>A_{i,j} = 1</math> se <math>i = j.</math> Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.
 
== Álgebra matricial ==
=== Multiplicação por um escalar ===
A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
{{Definição
|Para multiplicar um número <math>k</math> qualquer por uma matriz n×m <math>A,</math>, basta multiplicar cada entrada <math>a_{ij}</math> de <math>A</math> por <math>k.</math>. Assim, a matriz resultante <math>B</math> será também n×m e <math>b_{ij} = k \cdot a_{ij}.</math>.
}}
Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
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* Elemento Neutro: <math>1 \cdot A = A</math>
 
=== Adição de Matrizes ===
 
A adição de matrizes é outra operação bastante simples.
{{Definição
|Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos <math>c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
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* Comutatividade: <math>A + B = B + A</math>
 
=== Multiplicação de Matrizes ===
 
A '''multiplicação''' de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.
{{Definição
|Se <math>A</math> é uma matriz <math>m \times n</math> e <math>B</math> é uma matriz <math>n \times p,</math>, então seu '''produto''' <math>AB</math> é a matriz <math>m \times p</math> (''m'' linhas e ''p'' colunas) dada por:
: <math> (AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + \cdots + A_{i,n} B_{n,j} \!\ </math> para cada par <math>(i, j).</math>.
}}
A motivação dessa definição é a seguinte: se <math>\beta_i</math> denota a <math>i</math>-ésima linha da matriz <math>B,</math>, podemos criar outra matriz <math>C</math> cujas linhas <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_m</math> sejam combinações lineares das linhas de <math>B:</math>:
: <math>\gamma_1 = A_{1,1} \beta_1 + A_{1,2} \beta_2 + \cdots + A_{1,n} \beta_n</math>
:: <math>\vdots</math>
: <math>\gamma_m = A_{m,1} \beta_1 + A_{m,2} \beta_2 + \cdots + A_{m,n} \beta_n</math>
Em cada linha <math>\gamma_i,</math>, a entrada na <math>j</math>-ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de <math>B</math> nessa mesma coluna:
: <math>(\gamma_i)_j = A_{i,1} (\beta_1)_j + A_{i,2} (\beta_2)_j + \cdots + A_{i,n} (\beta_n)_j,</math>,
mas <math>(\beta_i)_j</math> corresponde a <math>B_{i,j}.</math>. Então, se <math>A</math> for a matriz com as entradas <math>A_{i,j}</math> definidas como acima, obtemos a fórmula acima.
 
Da mesma maneira, se <math>\alpha_j</math> denota a <math>j</math>-ésima coluna da matriz <math>A,</math>, podemos criar uma matriz <math>C</math> cujas colunas <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_p</math> sejam combinações lineares das colunas de <math>A:</math>:
: <math>\gamma_j = B_{1,j} \alpha_1 + B_{2,j} \alpha_2 + \cdots + B_{n,j} \alpha_n</math>
E, tomando as entradas na <math>i</math>-ésima linha, obtemos
: <math>(\gamma_j)_i = B_{1,j} (\alpha_1)_i + B_{2,j} (\alpha_2)_i + \cdots + B_{n,j} (\alpha_n)_i</math>
Mas a <math>(\alpha_j)_i,</math>, a <math>i</math>-ésima entrada à linha <math>\alpha_j,</math>, corresponde ao elemento <math>A_{i,j},</math>, de modo que também obtemos a fórmula acima.
 
Portanto,
{{CaixaMsg|tipo=revisão|texto=
A matriz <math>AB</math>
* tem como linhas combinações lineares das linhas de <math>B,</math>, cujos coeficientes são dados em cada linha de <math>A;</math>;
* tem como colunas combinações lineares das colunas de <math>A,</math>, com coeficientes dados em cada coluna de <math>B.</math>.
}}
 
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</math>
}}
 
 
=== Propriedades ===
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* Associativa:
*: <math>(AB)C = A(BC)</math>
* Distributiva em relação à Adição:
*: <math>(A + B)C = AC + BC</math>
* Elemento Neutro: se <math>A</math> é uma matriz <math>m \times n,</math>, então
*: <math>I_m A = A I_n = A,</math>, onde <math>I_n</math> representa a matriz identidade de ordem <math>n.</math>.
 
Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se <math>AB \neq BA</math>. Em muitos dos casos, a multiplicação <math>BA</math> pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação <math>AB</math>, a multiplicação <math>BA</math> só pode existir no caso em que <math>A</math> e <math>B</math> são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.
 
Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se <math>AB \neq BA.</math> Em muitos dos casos, a multiplicação <math>BA</math> pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação <math>AB,</math> a multiplicação <math>BA</math> só pode existir no caso em que <math>A</math> e <math>B</math> são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.
==Transposição==
 
=== Transposição ===
{{Definição
|A operação de transposição de uma matriz <math>A</math> retorna como resultado sempre um matriz <math>B</math> tal que, para todo elemento de <math>A</math> e <math>B,</math>, <math>a_{ij} = b_{ji}.</math>.
<math>B</math> é então dita a '''matriz transposta''' de <math>A,</math>, denotada por <math>A^t.</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
Linha 172 ⟶ 263:
}}
 
* O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se <math>A</math> era <math>m \times n,</math>, <math>A^t</math> será <math>n \times m.</math>.
* Cada coluna de <math>A</math> corresponderá a uma linha de <math>A^t,</math>, e vice-versa.
 
== Notas ==
<references/>
[[en:Linear Algebra/Matrices]]
 
{{AutoCat}}