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Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões

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{{Navegação/Simples|Transformações lineares|Espaço linha e espaço coluna|A álgebra das transformações lineares}}
 
== Núcleo ==
== Transformações Lineares ==
=== Definição ===
{{Definição
|Uma função <math>T : V \to W,</math> onde <math>V</math> e <math>W</math> são espaços vetoriais sobre um corpo <math>K,</math> é dita uma ''transformação linear'' se, para todos <math>u, v \in V</math> e para todo <math>\lambda \in K,</math> tem-se
: <math>T(u + v) = T(u) + T(v)</math>
: <math>T(\lambda u) = \lambda \, T(u)</math>
}}
 
== Núcleo ==
=== Definição ===
{{Definição
|Seja <math>T: V \to W\,</math> uma transformação linear entre os espaços vetoriais ''V'' e ''W''. O '''núcleo''' da transformação linear, '''Ker(T)''', é a imagem inversa do vetor nulo em W:
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A demonstração é simples:
* ''Ker(T)'' não é vazio, pois 0<sub>V</sub> é um elemento de ''Ker(T)'', já que ''T(0<sub>V</sub>) = 0<sub>W</sub>''
* Se <math>v, w \in Ker(T)\,,</math>, então ''T(v) = T(w) = 0'', logo, pela linearidade de ''T'', ''T(v + w) = 0'' e <math>v + w \in Ker(T)\,</math>
* Se <math>\lambda \in K\,</math> e <math>v \in Ker(T)\,,</math>, temos <math>T(v) = 0\,</math> logo <math>T(\lambda v) = \lambda T(v) = \lambda 0 = 0\,,</math>, ou seja, <math>\lambda v \in Ker(T)\,</math>
 
{{Rdc}}
 
== Funcionais Lineares ==
=== Definição ===
{{Definição
|Uma função <math>f: V \rightarrow K ,</math> onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K:</math>
 
: <math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
: <math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math>
}}
 
 
{{Teorema||(existência e unicidade)
|Se '''V''' é um espaço vetorial de dimensão ''n'' e <math>\alpha = \{v_1, v_2, \ldots, v_n \}</math> é
uma base de '''V''', então existe um único funcional ''f'', tal que <math>f(v_i) = \lambda_i, i = 1, 2, \ldots, n, \lambda_i \in K</math>
}}
 
 
{{Teorema||(base dual)
|Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}
 
{{Definição
|:<math>\beta^{*}</math> é chamada de base dual de <math>\beta</math>
: <math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
 
'''Corolários''':
 
: <math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
: <math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
=== Teoremas ===
{{Teorema||(representação dos funcionais lineares)
|Sejam '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno, e
<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V,</math> tal
que <math>f(v) = \langle v, v_o \rangle,</math> <math>\forall v \in V.</math>
}}
 
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
== Adjunto de um operador linear ==
=== Definição ===
{{Definição
|Seja '''V''' um espaço vetorial.
 
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V ,</math> de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
 
: <math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
}}
 
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
 
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
 
: <math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
: <math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
: <math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
{{Proposição
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij}),</math> onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
 
 
{{Corolário
|Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n,</math> com produto interno.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t.</math>
}}
 
== Operadores especiais ==
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>)
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)
 
=== Operador auto-adjunto ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de auto-adjunto se <math>T^* = T.</math>
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A.</math>
 
* Se <math>K = R,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C,</math> <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.
 
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
 
: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V,</math> então <math>T = 0.</math>
: Se '''V''' é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math>
 
'''Prove''':
 
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V,</math> então <math>T = 0.</math>
* Seja <math>T: V \rightarrow V,</math> com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R.</math>
 
=== Operador unitário ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de unitário se <math>T^* = T^{-1}.</math>
}}
 
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>
 
 
'''Prove''':
 
* '''T''' é unitário <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> ('''T''' preserva o produto interno)
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
* '''T''' é unitário <math>\iff T^{-1}</math> é unitário
 
=== Operador normal ===
{{Definição
|<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T.</math>
}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>
 
'''Prove''':
 
* Todo operador auto-adjunto é normal
* Todo operador unitário é normal
 
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
 
== Subespaço invariante ==
=== Definição ===
{{Definição
|'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V,</math> se <math>T(W) \subset W.</math>
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.
 
=== Exercícios ===
'''Prove''':
 
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então <math>T(W) = W.</math>
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W.</math>
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
 
== Ver também ==
=== Wikipédia ===
* [[whttp:Transformação//pt.wikipedia.org/wiki/Transformação_linear#N.C3.BAcleo linear#Núcleo|Núcleo da transformação linear]]
* [[w:Transformação linear|Transformação linear]]
 
{{Esboço|Matemática}}
{{AutoCat}}
 
{{AutoCat}}
[[en:Linear Algebra/Definition of Homomorphism]]
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Álgebra_linear/Transformações_lineares"