Medida e integração/Integração de funções mais gerais: diferenças entre revisões
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{{Definição|6.1
|Dado um espaço com medida <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> uma função mensurável <math>f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}} = \left[-\infty, +\infty\right]</math> e um conjunto mensurável <math>E,</math> a '''integral de <math>\boldsymbol{f}</math> sobre <math>E</math>''' é definida como sendo o elemento de <math>\overline{\mathbb{R}}</math> dado por
{{Fórmula|<math>\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu := \int\limits_E f^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E f^- \, \mathrm{d}\mu,</math>}}
desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.
}}
* {{Observação|6.2|Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se <math>f: X \mapsto \mathbb{R}</math> é uma função mensurável, então a função <math>f_1: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> definida por <math>f_1(x) = f(x)</math> em cada <math>x \in \mathbb{R}</math> também é mensurável. Consequentemente, a [[#Definição 6.1|Definição 6.1]] também é aplicável às funções <math>f: X \mapsto \mathbb{R}</math> mensuráveis.
{{Justificativa}}
Reciprovamente, dada qualquer função mensurável <math>g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> para a qual <math>\operatorname{Im}(g) \subset \mathbb{R},</math> a sua restrição <math>g_0: X \mapsto \mathbb{R}</math> definida por <math>g_0(x) = g(x)</math> em cada <math>x \in \mathbb{R}</math> também é uma função mensurável.
{{Justificativa}}
}}
{{Definição|6.3
|Dado um espaço com medida <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> define-se o espaço das funções Lebesgue mensuráveis como sendo
{{Fórmula|<math>\textstyle \mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) : = \left\{f: X \mapsto \mathbb{K}| f \mbox{ é mensurável e } \int_{X} |f| \mathrm{d}\mu< \infty\right\}</math> }}
}}
O conjunto <math>\mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K})</math> costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, <math>\mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{K}),</math> <math>\mathcal{L}_1(X, \mu),</math> <math>\mathcal{L}_1(X)</math> ou mesmo <math>\mathcal{L}_1.</math> Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto.
== Notas ==
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