Teoria dos conjuntos/Axioma do par: diferenças entre revisões
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Mais texto, com construções dos números 1 e 2 e do par ordenado |
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Segue-se imediatamente da definição que:
* <math>x \in \{ x, y\}\,</math>
* <math>z \in \{ x, y \} \implies (z = x \lor z = y)\,</math>
* <math>\{x , y\} = \{y , x\}\,</math>
* <math>\{ x \} \subseteq \{x , y \}\,</math>
* <math>\{ x \} = \{ y \} \implies x = y\,</math>
* <math>\{ x , y \} = \{ z \} \implies (x = z \land y = z)\,</math>
* <math>\{ x , y \} = \{ z, w \} \implies ((x = z \land y = w) \lor (x = w \land y = z))\,</math>
== Definição de 1 e 2 ==
Adotando-se a ideia de von Neumann <ref>Ver artigo na wikipedia {{w|Número ordinal}}</ref>, vamos definir os seguintes conjuntos:
: <math>1 = \{ \varnothing \}\,</math>
: <math>2 = \{ \varnothing , 1 \}\,</math>
e temos que parar por aqui, porque ainda não definimos o que significa ''{x, y, z}'' - e, pelos axiomas até agora listados, não sabemos se existe este tipo de conjunto.
Note-se (exercício: prove) que:
* <math> \varnothing \in 1\,</math>
* <math> \varnothing \in 2\,</math>
* <math> \varnothing \subset 1\,</math>
* <math> \varnothing \subset 2\,</math>
* <math> 1 \in 2\,</math>
* <math> 1 \subset 2\,</math>
As propriedades acima não são acidentais: quando definirmos os números naturais, elas serão válidas para todos os números. Iremos mais adiante: estas propriedades valerão para uma classe de conjuntos que amplia uma das funções normalmente atribuídas aos números naturais, que é ordenar elementos.
Note-se que as relações <math>\in\,</math> e <math>\subset\,</math> não são sempre equivalentes. Por exemplo:
* <math> 1 \in \{ 1 \}\,</math> mas <math> 1 \not\subset \{ 1 \}\,</math> - porque <math>\varnothing \in 1 \land \varnothing \not\in \{ 1 \}\,</math>
* <math> \varnothing \subset \{ 1 \}\,</math> mas <math> \varnothing \not\in \{ 1 \}\,</math>
== Par ordenado ==
O {{w|par ordenado}} também pode ser definido com o axioma do par. Esta definição se deve a Kuratowski<ref>Ver artigo na wikipedia {{w|Par ordenado}}</ref>:
: <math>(x, y) = \{ \{ x \} , \{ x , y \} \}\,</math>
O teorema abaixo é de crucial importância para as aplicações do par ordenado:
: <math>(x, y) = (z, w) \implies (x = z \land y = w)\,</math>
Esboço da demonstração:
Conforme temos <math>x = y\,</math> ou <math>x \neq y\,</math>, combinado com <math>z = w\,</math> ou <math>z \neq w\,</math>, temos quatro casos possíveis. As propriedades do conjunto ''{ a , b }'' resolvem trivialmente quase todos os casos, exceto quando <math>x \neq y \land z \neq w\,</math>.
Mas, neste caso, temos, por <math>\{ \{ x \} , \{x , y\}\} = \{ \{z \}, \{z, w\}\}\,</math> que <math> \{x \} = \{z \}\,</math> ou <math>\{ x \} = \{z , w\}\,</math>. Este segundo caso só é possível quando ''z = w'', o que já foi excluído antes. Assim, temos <math>\{ x \} = \{ z \}\,</math>, o que implica em ''x = z''. Assim, sobra a igualdade <math>\{ x , y \} = \{ x , w \}\,</math>, ou <math>y = x \lor y = w\,</math>. Como já vimos que <math>x \neq y\,</math>, segue-se que ''y = w''.
== Ver também ==
{{wikipedia|Axioma do par}}
{{ref-section}}
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