Teoria dos conjuntos/Axioma da união: diferenças entre revisões
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União de dois conjuntos |
conjuntos de três, quatro, etc elementos; 3, 4, ... 9 |
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É fácil mostrar que <math>x \in C \iff x \in A \lor x \in B\,</math>, ou seja, este axioma permite construir a '''união''' de dois conjuntos:
:<math>A \cup B = \bigcup_{x \in \{ A , B \}} x\,</math>
== Definição de conjuntos com três, quatro, etc elementos ==
Com as definições da união e dos conjuntos com um elemento e com (possivelmente) dois elementos, podemos definir:
* <math>\{ x, y, z \} = \{ x , y \} \cup \{ z \}\,</math>
* <math>\{ w, x, y, z \} = \{ w, x , y \} \cup \{ y \}\,</math>
* <math>\{ v, w, x, y, z \} = \{ v, w, x , y \} \cup \{ z \}\,</math>
e pode-se continuar definindo conjuntos cada vez maiores. É importante notar que, assim como temos um ''esquema de axiomas'' no [[Teoria dos conjuntos/Axioma da separação|axioma da separação]], aqui temos um ''esquema de definições'' - não iremos explicitamente escrever todas as definições, mas o leitor deve se convencer de que qualquer conjunto com um número finito de elementos pode ser definido desde que haja tempo suficiente para enumerar seus elementos.
== Sucessor, e os números de 3 a 9 ==
Uma notação que será muito conveniente é a do ''sucessor'' de um conjunto (mas esta definição só tem sentido prático para números).
Define-se ''s(x)'', o ''sucessor'' de ''x'', como:
* <math>s(x) = x \cup \{ x \}\,</math>
Já vimos antes as definições de ''1'' e ''2'' como conjuntos. É fácil ver que:
* <math>1 = s(\varnothing)\,</math>
* <math>2 = s(1)\,</math>
o que motiva a definir:
* ''3 = s(2)''
* ''4 = s(3)''
* ''5 = s(4)''
* ''6 = s(5)''
* ''7 = s(6)''
* ''8 = s(7)''
* ''9 = s(8)''
Poderíamos continuar assim, mas para ser possível provar alguma coisa em aritmética, será melhor parar por aqui. Note-se que até agora não foi falado do ''zero''; por consistência temos que <math>0 = \varnothing\,</math> é a melhor definição, porque assim temos ''1 = s(0)''.
Com os axiomas até agora vistos, falta pouco para poder construir um ''modelo'' da {{w|Aritmética de Peano}} - falta demonstrar que existe um conjunto dos números naturais.
== Ver também ==
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