Teoria dos conjuntos/Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união: diferenças entre revisões
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Segue imediatamente das definições que, se ''((A, B), G)'' é uma relação, então <math>Dom(G) \subseteq A\,</math> e <math>Imag(G) \subseteq B\,</math>.
Uma pergunta natural é quais relações que existem com ''A'' como conjunto de partida e ''B'' como conjunto de chegada? O conjunto vazio é o gráfico de uma destas relações; analogamente, se ''A'' e ''B'' não forem vazios, com <math>a \in A, b \in B\,</math>, temos que ''G = { (a, b) }'' é o gráfico de uma relação.
Será que existe uma relação cujo gráfico inclua '''todos''' pares ''(x, y)'', com <math>x \in A, y \in B\,</math>? Em outras palavras, existe o conjunto (porque, usando o axioma da extensão, se ele existe, então é único) <math>A \times B\,</math> com a propriedade notável que <math>(x, y) \in A \times B \iff x \in A \land y \in B\,</math>? A resposta, com base nos axiomas até agora apresentados, é um terrível '''não sei'''.
== Funções ==
Funções são um tipo especial de relação, satisfazendo as propriedades tradicionais. Em vez de ''((A, B), f)'' para a função, representa-se por: <math>f: A \to B\,</math>. Aqui, analogamente, ''f'' é o gráfico da função/relação; muitas vezes, por descuido de linguagem, usa-se ''função'' quando o objetivo é falar do seu ''gráfico'', e vice-e-versa.
Funções podem ser injetivas, sobrejetivas, bijetivas
O problema é que ainda faltam alguns axiomas para podermos construir várias funções. Por exemplo, seja ''A'' um conjunto qualquer, e ''B'' um conjunto de um único elemento, ''B = { b }''. Será que existe uma função <math>f: A \to B\,</math>? Intuitivamente, este conjunto seria formado pelos pares ''(x, b)'' em que <math>x \in A\,</math> - porém já vimos que a expressão <math>\{ x | \Phi(x) \}\,</math> pode não definir um conjunto, e o que estamos tentando fazer é definir esta função como <math>\{ (x, b) | x \in A \}\,</math> - exatamente desta forma "proibida".
== Relação bem ordenada ==
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