Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões
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Prova do limite da fração |
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Linha 206:
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon</math> positivo, existe algum <math>\delta</math> positivo, tal que
<math>\left| f(x) \cdot g(x)\ -\ L \cdot M \right|\ <\ \epsilon</math>, para todo <math>x \in D_f \cap D_g</math> que verifica <math>0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math>
Considerando que existem os limites <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> e <math>\lim_{x\to a}g(x)</math>, é possível encontrar certo <math>\delta_1 \ >\ 0</math>, para o qual
Linha 240:
|título=Limite da razão de duas funções
|texto=
|fórmula=
<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}</math>
Linha 246:
'''Demonstração:'''
Seja <math>\lim_{x\to a}g(x)=M \ne 0</math>. Basta mostrar que <math>\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} \ = \ \frac{1}{M}\,</math>, e aplicar a regra do produto para <math>f(x) \times \frac{1}{g(x)}\,</math>.
Queremos verificar se para cada <math>\epsilon</math> positivo, existe algum <math>\delta</math> positivo, tal que
<math>\left| \frac{1}{g(x)}\ -\ \frac{1}{M} \right|\ <\ \epsilon</math>, para todo <math>x \in D_g</math> que verifica <math>0< \left| x\ -\ a \right|< \delta </math>
Mas esta expressão pode ser reescrita como:
<math>\left| \frac{M - g(x)}{M g(x)} \right|\ < \epsilon</math>.
A ideia agora é mostrar que, na fração acima, temos que o denominador é um número não muito pequeno, enquanto que o numerador é um número pequeno.
Como ''g(x)'' se aproxima de ''M'', vamos forçar o denominador a ser um número maior (em módulo) que <math>\frac{M^2}{2}\,</math>, e vamos, portanto, forçar o numerador a ser um número menor (em módulo) que <math>\frac{\epsilon}{2M^2}\,</math>. Assim, a razão dos dois será menor (em módulo) que <math>\epsilon\,</math>.
* Denominador
Pelo fato de <math>\lim_{x \to a} g(x) = M \ne 0\,</math>, temos que para o número positivo <math>\frac{\left|M\right|}{2}\,</math> existe um <math>\delta_1 > 0 \,</math> tal que <math>\forall x, (\left|x - a\right| < \delta_1 \implies \left|g(x) - M\right| < \frac{\left|M\right|}{2}\,</math>.
Mas isto implica, em particular, que <math>\left|g(x)\right| = \left|M - (g(x) - M)\right| \ge \left|M\right| - \left|g(x) - M\right| > \left|M\right| - \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{\left|M\right|}{2}\,</math>.
Portanto, temos que <math>\left|M g(x)\right| = \left|M \right| \ \left|g(x)\right| > \left|M\right| \frac{\left|M\right|}{2} = \frac{M^2}{2}\,</math>.
* Numerador
É imediato, pela propriedade da subtração de limites, que, como <math>\lim_{x \to a}(M - g(x)) = 0\,</math>, temos que existe <math>\delta_2 > 0\,</math> tal que <math>\forall x, (x < \delta_2 \implies \left|M - g(x)\right| < \frac{\epsilon}{2 \left|M\right|}\,</math>.
* Fração
Agora basta tomar <math>\delta = min(\delta_1, \delta_2)\,</math>, e observar o resultado desejado.
====T5 - (Potência)====
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