Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões

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Seja a função <math>f(x) \,\!</math>, onde <math>x\ \in\ \R \,\! </math>. Façamos isto apenas para restringir o escopo da análise a funções mais simples e assim, que isto permita-nos colocar as condições dentro de parâmetros mais fáceis de analisar.
 
Ao tomarmos um subintervalo deSendo <math>f(x) \,\!</math>, delimitadodefinido porou não em um <math>\deltadeterminado \,\!</math>ponto do domínio, verificamos a existência de valores que tendem a se aproximar de um valor <math>a L</math>, épróximo umaos númerovalores nestetrivialmente intervalo,encontrados para todoa função em pontos próximos e com valores conhecidos. Então, arbitramos um número <math>\delta \,\!epsilon</math>, teremosdelimitando umuma númeroregião em <math>f(x) \,\!</math> talde forma que as condições sejam suficientes para garantir que:
<math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon \,\!</math>
 
Ao tomarmos um subintervalo em <math>f(x) \,\!</math> com extensão <math>\epsilon</math>, o efeito esperado é que tenhamos delimitado um valor <math>\delta \,\!</math> correspondente para <math>x \,\!</math>. Consideramos que temos um número <math>a</math>, neste intervalo, para todo <math>\delta \,\!</math> que obtemos quando arbitramos um <math>\epsilon</math> na função. Da mesma forma que temos um esperado valor em <math>f(x) \,\!</math> devemos ter um número <math>x \,\!</math> no domínio, tal que:
<math>0\ <\ \left |x\ -\ a\right|\ <\ \delta \,\!</math>
 
Devemos ter o cuidado de observar que a afirmativa acima exige que o valor da diferença não seja nulo, caso contrário a relação de correspondência dos valores na função e no domínio não existiria.
Sob estas condições, queremos definir o valor de forma que o mesmo seja extremamente pequeno, por isso é importante notar que precisa-se fazer com que <math>\ \delta \,\!</math> diminua sob a óptica da análise que deveremos fazer.
 
Sendo <math>f(a)</math>, definido ou não, verificamos a existência de um número que tende a <math> L</math> e que exista um número <math>\epsilon</math>, de forma que estas condições sejam suficientes para garantir que:
<math>\left |f(x)\ -\ L\right|\ <\ \epsilon \,\!</math>
 
QuandoCaso diminuimosas condições acima sejam satisfeitas e a relação entre os valores seja possível, dizemos que <math>\deltaL \,\!</math> atéé queo não'''limite''' seja mais possível distingüirde <math>\leftf(a\rightx) \,\!</math> dequando <math>\left(x\right) \,\!</math>,embora elestende sejam infinitesimalmente diferentes, deveremos ter uma <math>\epsilonleft(a\right) \,\!</math> correspondente.
Caso isto seja possível, <math>L \,\!</math> é o '''limite''' de <math>f(x) \,\!</math> quando <math>\left(x\right) \,\!</math> tende a <math>\left(a\right) \,\!</math>.
 
===Definição===