Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: diferenças entre revisões

<math> y = f(x) \ =\ \frac{(x\ -\ 4)(x\ -\ 6)}{2(x\ -\ 6)} \,\!</math>

Esta função não está definida para <math> x\ =\ 6 \,\!</math>, pois não faz sentido escrever <math> y\ =\ \frac{0}{0} \,\!</math>. No entanto, podemos calcular <math>f(x) \,\!</math> para valores de <math>x \,\!</math> muito próximos de 6. Observe a tabela:

! <math>x \,\!</math>

! <math>y=f(x) \,\!</math>

| 0,75 || 0,9 || 0,995 || <math>\mathcal{6}\exists \,\!</math> || 1,025 || 1,1 || 1,25

Se fizermos <math>x\ =\ 5,5 \,\!</math>

temos <math> y\ =\ 0,75\,\!</math>; se agora fizermos <math>x\ =\ 5,8 \,\!</math> teremos <math>y\ =\ 0,9 \,\!</math>; depois fazendo <math>x\ =\ 5,99 \,\!</math> teremos <math>y\ =\ 0,995 \,\!</math>;

portanto quando nós aproximamos <math>x \,\!</math> de 6, vemos que também aproximamos <math>y \,\!</math> de 1.

Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6: se tivermos <math>x\ =\ 6,5 \,\!</math> teremos <math>y\ =\ 1,25 \,\!</math>; e para <math>x\ =\ 6,2 \,\!</math>

teremos <math>y\ =\ 1,1 \,\!</math>; finalmente, se <math>x\ =\ 6,05 \,\!</math> teremos <math>y\ =\ 1,025 \,\!</math> e vemos que o mesmo acontece<ref>{{WolframAlpha|Texto|lim(x->6) (x-4)*(x-6)/(2*(x-6))|<math>\frac{(x-4)(x-6)}{2(x-6)} \,\!</math>}}</ref>.

Acontece que, quando ''aproximamos'' <math>x \,\!</math> de 6, <math>y \,\!</math> ''se aproxima'' de 1, o que indica uma ''tendência'' de se igualar a 1. Perceba que quando <math>x \,\!</math> ''se aproxima'' de 6, de forma a alcançar o '''limite''' entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente faz com que <math>y \,\!</math> também alcance um número ainda mais próximo de 1. Então dizemos que: se <math>f(x)=y \,\!</math> então, o '''limite''' de <math>f(x) \,\!</math> quando ''<math>x'' \,\!</math> tende a 6 é igual a 1.

<math>\lim_{x\to 6}f(x)\ =\ 1 \,\!</math>

Se levarmos em consideração que ao aproximar duas coisas, a distância entre elas diminui, fica fácil perceber que será necessário medir a distância entre os números. Sendo assim, vale a pena recordar que a [[w:Distância|distância]] entre dois números reais é dada pela fórmula [[w:Métrica (matemática)#Exemplos|<math>d(a,b)=|a-b| \,\!</math>]]. Assim, usando essa fórmula podemos dizer que, por exemplo:

* Se <math>\delta \,\!</math> é um número pequeno e <math>|x-a|<\delta \,\!</math> então <math>x \,\!</math> está ''próximo de <math>a \,\!</math> '';

* Se diminuimos gradativamente o valor de <math>\epsilon \,\!</math>, e ao mesmo tempo escolhemos <math>y \,\!</math> satisfazendo <math>|y-L|<\epsilon \,\!</math>, podemos dizer que estamos ''aproximando <math>y \,\!</math> de L'';

Com isso em mente, vamos retomar o nosso exemplo. A dependência entre a variação de <math>x \,\!</math> e a variação dos valores assumidos pela função <math>f(x) \,\!</math> pode agora ser expressa de uma forma bem simples. Como é mostrado na tabela, é possível fazer <math>f(x) \,\!</math> ficar extremamente próximo de 1, bastando escolher valores de <math>x \,\!</math> suficientemente próximos de 6. Assim, se queremos fazer <math>d(f(x),1) \,\!</math> ficar menor que <math>\epsilon \,\!</math>, é suficiente encontrar um valor de <math>\delta \,\!</math> pequeno o bastante e fazer escolhas de <math>x \,\!</math> que satisfaçam <math>d(x,6)=|x-6|<\delta \,\!</math>, ou seja, basta escolher <math>x \,\!</math> próximo de 6.