Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas: diferenças entre revisões
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Linha 101:
|título=O valor extremo de uma função num intervalo
|texto=
Considere agora que existe um número ''c'', de forma que <math> {c} \in [a,b] \,\!</math>, que é domínio da função <math> f(x) \,\!</math>, podemos provar que:
Se <math> f(c) \ge f(x) \,\!</math>
ou
Se <math> f(c)\le f(x) \,\!</math>
então:
|fórmula=<math> f\ '(c)=0 \,\!</math>
}}
Linha 117:
Vejamos a demonstração algébrica do teorema:
Seja os números <math> \alpha \ <\ {c}\ < \ \beta \,\!</math>, onde ''c'' é um número crítico do intervalo considerado, inicialmente, observando a derivada de <math> f(c) \,\!</math>, quando este valor é o maior no intervalo:
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} >0 \,\!</math>
e da mesma forma:
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} <0 \,\!</math>
O que nos leva a concluir que:
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ <\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ < \ f(c) \,\!</math>
Por outro lado se <math> f(c) \,\!</math> é o menor valor do intervalo:
<math>f\ '(c)=\lim_{\alpha \to c^-} \frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c} <0 \,\!</math>
e da mesma forma:
<math>f\ '(c)=\lim_{\beta \to c^+} \frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c} >0 \,\!</math>
O que nos leva a concluir que:
<math> 0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha) \ >\ f(c)\quad \and \quad f(\beta)\ > \ f(c) \,\!</math>
Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em ''c'' tem valor '''nulo'''.
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