Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 77:
|título=Integração de diferenciais
|texto=
A diferencial <math>\mbox{d}x \,\!</math> ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:
|fórmula=
<math>\int \mbox{d}x=x+C \,\!</math>
Linha 99:
A constante ''c'' é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:
|fórmula=
<math>\int c\ \mbox{d}x = c \cdot x \,\!</math>
}}
'''Comprovação:'''
Se fizermos: <math> f(x)=c\ x \,\!</math>, teremos:
<math>f\ '(x)= c \,\!</math>
Conforme o teorema [[../Derivadas#T13 - fator|T13 - fator]].
Linha 114:
{{Teorema
|título=Integral da adição de funções
|texto=Se <math>f(x)=g(x) + h(x) \,\!</math> então:
|fórmula=
<math>\int f(x)\mbox{d}x=\int g(x)\mbox{d}x + \int h(x)\mbox{d}x \,\!</math>
}}
'''Comprovação:'''
Se <math>f(x) \,\!</math> é o resultado da soma de duas antidiferenciais, logo:
#Temos que admitir que <math>g(x) \,\!</math> e <math>h(x) \,\!</math> são diferenciais;
#A soma de diferenciais admite que:
## Se <math>g(x)= \mbox{d} m \,\!</math> e <math>h(x)= \mbox{d} n \,\!</math>, temos: <math>g(x) + h(x)= \mbox{d} m + \mbox{d} n \,\!</math>
## Sendo, portanto, possível fazer: <math>g(x) + h(x)= \mbox{d} (m + n) \,\!</math>
## Além disso: Se <math>(m + n) = p \,\!</math> então, podemos fazer: <math>f(x)= \mbox{d} p \,\!</math>
Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos.
Linha 136:
|título=Antidiferencial da função com expoente constante
|texto=
Seja a função <math>f(x)={x^n} \,\!</math> onde n é constante, sua antidiferencial é:
|fórmula=
<math>U(x)= \int f(x) \mbox{d} x = \frac {x^{n+1}}{n+1}+C \,\!</math> ; onde: <math>n \ne -1 \,\!</math>
}}
Linha 145:
'''Comprovação:'''
<math> U\ '(x)= \frac{\mbox{d} \frac{x^{n+1}}{n+1}+C}{\mbox{d} x} \,\!</math>
<math> U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \frac{\mbox{d} ({x^{n+1}})}{\mbox{d} x} + \frac{\mbox{d} C}{\mbox{d} x} \,\!</math>
<math> U\ '(x)= \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) (x^n) + 0 \,\!</math>
<math> U\ '(x)={x^n} \,\!</math>
<math> U\ '(x)=f(x) \,\!</math>
===T24 - Regra da cadeia para antidiferenciais===
Linha 160:
|título=Regra da cadeia para antidiferenciais
|texto=
Seja as funções <math>f(u) \,\!</math> e <math>u=g(x) \,\!</math>, contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta <math>f(u) \,\!</math> com relação a ''x'' é:
|fórmula=
<math>\int f(u) \mbox{d} x = \int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \mbox{d} x + C \,\!</math>
}}
Linha 171:
Uma vez que:
<math>u=g(x) \,\!</math> , temos:
<math>\mbox{d} u= g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>
O que nos possibilita operar, por substituição:
<math>\int f(u) \mbox{d} u \,\!</math>, obtendo:
<math>\int f(u) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>
<math>\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x \,\!</math>
para definir a antiderivada, usamos a constante ''C'':
<math>\int f(g(x)) \cdot g\ '(x) \cdot \mbox{d} x + C \,\!</math>
O que comprova a regra.
| |||