Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões

Considere a operação: <math>U=a_1+a_2+a_3+a_3+a_4+...a_n \,\!</math>, chamamos esta operação de somatória, ela é simbolizada pela letra grega sigma (<math>\Sigma \,\!</math>), utilizando a notação escrita como segue:

<math>\sum_{i=1}^n a_i \,\!</math>

O significado deste símbolo é facilmente compreendido: A variável i é chamada de índice, o número n é a quantidade de parcelas, ocorre que, ao substituir estes valores na expressão <math>a_i\,\!</math>, fazemos de forma seqüencial, somando um valor ao anterior, como descrito na operação acima, o que resultará no valor final de ''U'', pretendido na referida operação.

<math>\sum_{i=1}^n c = nc \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n c = c+c+c+c+c+c+ \dots +c \Rightarrow \,\!</math> n vezes.

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c\sum_{i=1}^n f(i) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = cf(1)+cf(2)+cf(3)+cf(4)+cf(5)+cf(6)+ \dots +cf(n) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n cf(i) = c[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+ \dots +f(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = \sum_{i=1}^n f(i) + \sum_{i=1}^n g(i) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + g(1)] + [f(2) + g(2)] + [f(3) + g(3)]+ \dots +[f(n) + g(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i) + g(i)] = [f(1) + f(2) + f(3)+ \dots +f(n)] + [g(1) + g(2) + g(3)+ \dots +g(n)] \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(n)\ -\ f(0) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = f(1)\ -\ f(0) + f(2)\ -\ f(1) +f(3)\ -\ f(2) +f(4)\ -\ f(3) - \dots + f(n)-f(n-1) \,\!</math>

<math>\sum_{i=1}^n [f(i)- f(i-1)] = - f(0) + f(n) \,\!</math>

Consideremos a função do gráfico: <math>y=f(x) \,\!</math>, a sua integral entre os valores de x: ''a'' e ''b'' é:

<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x \,\!</math>

Chamamos o intervalo <math>[a,b] \,\!</math> de '''partição''' e simbolizamos como: <math>\Delta \,\!</math>. Ao dividirmos o intervalo <math>[a,b] \,\!</math> em ''n'' "pedaços"(seções) temos a possibilidade de definir o tamanho de cada um, porém a regra de Riemann é mais flexível e estabelece que podemos ter pedaços de tamanhos diferentes, de forma que tenhamos apenas que estabelecer os valores de ''x'' tal que: <math>\{x_1<x_2<x_3<x_4<x_5< \dots <x_n\} \,\!</math>. Uma vez que estabelecemos os valores dos x, podemos arbitrar um ponto intermediário entre eles para que seja o ponto onde definiremos o valor da função, este ponto será importante porque ele estabelecerá a altura do retângulo. O valor de ''x'', que determinará o ponto da altura de cada retângulo é referenciado como <math>( \xi ) \,\!</math>, referenciamos estes pontos como: <math>[{\xi}_n\ ,\ f({\xi}_n)]\,\!</math>.

A base dos retângulos é <math>\Delta x_n \,\!</math>, onde os valores podem variar livremente, porém há sempre um retângulo que possui a maior base, que chamamos de '''norma''' da partição <math>[a,b] \,\!</math>, simbolizada por <math>\left \| \Delta \right \|</math>.