Cálculo (Volume 1)/Integrais: diferenças entre revisões

[edição não verificada][edição não verificada]
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Linha 348:
Algumas propriedades são observadas a partir dos conceitos expostos sobre a integral, são regras para simplificar algumas operações, mas que podem ser úteis para o estudo de teoremas que veremos em capítulos mais adiante, vejamos as propriedades e suas comprovações:
 
Sejam <math>f(x) \,\!</math> e <math>g(x) \,\!</math>, funções contínuas no intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, podemos afirmar que:
 
====T29 - Limites iguais====
 
<math> \int^a_a f(x) \mbox{d} x = 0 \,\!</math>
 
'''Comprovação:'''
Linha 358:
Podemos observar que, ao tomarmos o intervalo <math>[a,b]</math>, dividindo-o em n pedaços, teremos:
 
<math>\Delta x = \frac {a-b}{n} \,\!</math>
 
Sendo <math>b=a</math> teremos:
 
<math>\Delta x = \frac {a-a}{n} = 0 \,\!</math>
 
então:
 
<math>{\Delta}_i x = 0 \,\!</math> e:
 
<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x = 0 \,\!</math>
 
O que comprova o teorema.
Linha 376:
Sendo ''K'' constante:
 
<math> \int^b_a K f(x) \mbox{d} x = K \int^b_a f(x) \mbox{d} x \,\!</math>
 
'''Comprovação:'''
 
<math>\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} K f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>
 
que é igual a:
 
<math>\int^b_a K f(x)\mbox{d} x =K \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>
 
O que comprova o teorema.
Linha 390:
====T31 - Inversão dos limites====
 
<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x = - \int^a_b f(x) \mbox{d} x\,\!</math>
 
'''Comprovação:'''
 
Novamente tomando o intervalo <math>[a,b] \,\!</math>, dividindo-o em n pedaços, teremos:
 
<math>\Delta x = \frac {a-b}{n} \,\!</math>
 
Portanto <math>\Delta x \,\!</math> é fator determinante do sinal. Se tomarmos a integral no intervalo <math>[a,b]\,\!</math> e invertermos a sua posição no cálculo, teremos:
 
<math> \frac {a-b}{n} = - \frac {b-a}{n} \,\!</math>
 
Logo, tomando <math>a \to b \,\!</math> como <math>\Delta x \,\!</math> é igual a tomar <math> b \to a \,\!</math> como <math> - \Delta x \,\!</math>.
 
O que comprova o teorema.
Linha 408:
====T32 - Adição====
 
<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \int^b_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_a g(x) \mbox{d} x \,\!</math>
 
'''Comprovação:'''
Linha 414:
Sendo a integral:
 
<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} [f({\xi}_i)\ +\ g({\xi}_i)] {\Delta}_i x \,\!</math>
 
logo:
 
<math> \int^b_a [f(x) + g(x)] \mbox{d} x = \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i){\Delta}_i x\ +\ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} g({\xi}_i){\Delta}_i x \,\!</math>
 
O que comprova o teorema.
Linha 424:
====T33 - Seções complementares====
 
Sendo ''c'' constante e <math> a<c<b \,\!</math>:
 
<math> \int^b_a f(x) \mbox{d} x = \int^c_a f(x) \mbox{d} x + \int^b_c f(x) \mbox{d} x \,\!</math>
 
'''Comprovação:'''
 
<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>
 
Tomando o intervalo entre ''a'' e ''c'' e fazendo a relação:
 
<math> \Delta = \frac{c-a}{k} \,\!</math>
 
e
 
<math> \Delta = \frac{b-a}{n} \,\!</math>
 
O <math>\Delta \,\!</math> é um valor que pode ser atribuído às duas relações, portanto podemos fazer:
 
<math>\int^b_a f(x)\mbox{d} x =\lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^k_{i=1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x + \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0} \sum^n_{i=k+1} f({\xi}_i) {\Delta}_i x \,\!</math>
 
Que é semelhante a propriedade da soma das áreas de dois objetos que formam um corpo maior, que costumamos usar na geometria e que prova o teorema.
Linha 448:
====T34 - Valor médio====
 
Seja a seção <math> [a,b] \,\!</math> no domínio da função <math>f(x) \,\!</math>, dizemos que ''M'' é o valor médio da função neste intervalo, sendo seu valor definido como segue:
 
<math> M = \frac {\int^b_a f(x) \mbox{d} x}{b-a} \,\!</math>
 
'''Comprovação'''
Linha 456:
O valor médio de uma função é expresso pela função abaixo:
 
<math>M = \frac {\sum^n_{i=1} v_i}{n} \,\!</math>
 
Onde <math>v_i \,\!</math> representa um valor em particular. Sendo <math>f({\xi}_i) \,\!</math> o valor da função para cada retângulo, podemos fazer a sua média da seguinte forma:
 
<math>M = \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i)}{n} \,\!</math>
 
Por outro lado, podemos fazer com que o ''n'' seja:
 
<math>n=\frac{b-a}{\Delta x} \,\!</math>
 
logo:
 
<math>M \approx \frac {\sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x}{b-a} \,\!</math>
 
Uma vez que o <math>\Delta x \,\!</math> é um valor muito grosseiro, podemos encontrar o limite quando a norma da partição tende a ser nula, desta forma:
 
<math>M = \frac {1}{b-a} \cdot \left [ \lim_{\left \| \Delta \right \| \to 0 } \sum^n_{i=1} f({\xi}_i) \Delta x \right ] \,\!</math>
 
O que comprova o teorema.