Teoria dos conjuntos/Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m →Próximos capítulos: links corretos para os próximos capítulos |
→Relação bem ordenada e número ordinal: Mais alguns resultados importantes |
||
Linha 102:
Será usada a representação '''Ord(α)''' para indicar que ''α'' é um número ordinal (de von Neumann).
Quando <math>S \subseteq \alpha\,</math> for um conjunto não-vazio, seu elemento mínimo em ''α'' (pelo axioma acima) será representado por <math>\min_{\alpha} S\,</math>.
Pode-se provar que, se ''y'' e ''z'' são elementos do ordinal ''α'', então <math>y \subseteq z \lor z \subseteq y\,</math>.
Linha 129 ⟶ 131:
* Se ''x'' e ''y'' são elementos de ''α'' então são elementos de ''β'', o que prova a ordem total
* Se ''S'' é um subconjunto não-vazio de ''α'', então também é um conjunto não-vazio de ''β'', portanto tem elemento mínimo.
== O sucessor de um elemento de um ordinal é um subconjunto deste ordinal ==
Ou seja, ''Ord(β)'' e <math>\alpha \in \beta\,</math> implica em <math>s(\alpha) \subseteq \beta\,</math>.
Isto é óbvio: <math>s(\alpha) = \alpha \cup \{ \alpha \}\,</math>, e <math>\alpha \subset \beta\,</math>
e <math>\{ \alpha \} \subseteq \beta\,</math>.
== A interseção de dois ordinais é um ordinal ==
Sejam ''Ord(α)'', ''Ord(β)'' e γ a sua interseção.
Considerando em γ a relação cujo gráfico é interseção dos gráficos das relações
<math>\in\,</math> em α e β, é imediato verificar:
* <math>\forall x, y, z \in \gamma, (x < y \land y < x \implies x < z)\,</math> (transitividade)
* <math>\forall x \in \gamma, (\neg x < x)\,</math> (aliorrelatividade)
* <math>\forall x, y \in \gamma, (x < y \lor x = y \lor y < x)\,</math> (ordem total)
* <math>\forall x \in \gamma, (x \subseteq \gamma))\,</math>
Falta apenas verificar:
* <math>\forall S \subseteq \gamma, (\exists s \in S \implies \exists i \in S, (\forall x \in S, (i = x \lor i < x)))\,</math> (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)
Como ''S'' é um subconjunto tanto de ''α'' quanto de ''β'', sejam <math>a = \min_{\alpha} S\,</math> e <math>b = \min_{\beta} S\,</math>.
Mas estes mínimos, por serem elementos de ''S'', são também elementos de ''α'' e de ''β'', portanto um deles não pode ser subconjunto do outro, logo são iguais ''a = b'', sendo, portanto, o mínimo de ''S'' em γ.
== Se um ordinal é suficientemente maior que outro, então ele tem seu sucessor como elemento ==
Se ''Ord(α)'', ''Ord(β)'' e ''Ord(γ)'', com <math>\alpha \in \beta \in \gamma\,</math>, então <math>s(\alpha) \in \gamma\,</math>.
Formemos o conjunto <math>S = \{ x \in \gamma | \alpha \in x \}\,</math>. S não é vazio porque <math>\beta \in S\,</math>. Seja ''m'' o seu mínimo. Queremos provar que ''m = s(α)''.
Primeiro, é óbvio que <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>: por construção, <math>\alpha in m\,</math>, portanto, por ser ''α'' um ordinal de ''m'', temos que <math>\alpha \subset m\,</math> - o que completa a prova de que <math>\alpha \cup \{ \alpha \} \subseteq m\,</math>.
Por outro lado, seja ''x'' um elemento de ''m''. Então, comparando ''x'' com ''α'', temos três possibilidades: ''x = α'' implica em <math>x \in s(\alpha)\,</math>, <math>x \in &alpha\,</math> analogamente implica em <math>x \in s(\alpha)\,</math>, finalmente <math>\alpha \in x\,</math> implica em <math>x \in S\,</math> e, pelo fato de ''m'' ser o mínimo de ''S'', em <math>m \in x\,</math>, o que (junto com <math>x \in m\,</math>) contradiz a aliorrelatividade
Ou seja, <math>m \subseteq s(\alpha)\,</math> e <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>, completando a demonstração de que <math>s(\alpha) = m \in \gamma\,</math>
== Se um ordinal é subconjunto próprio de outro, então ele é seu elemento ==
Será provado ainda mais que isso:
: <math>Ord(\alpha), Ord(\beta), \alpha \subset \beta \implies \alpha = \min_{\beta}(\beta - \alpha)\,</math>
A prova: como o conjunto ''β - α'' não é vazio, então tem um elemento mínimo ''m''.
Provaremos então que <math>m \subseteq \alpha\,</math> e <math>\alpha \subseteq m\,</math>.
Primeiro, por construção, é claro que <math>m \not\in \alpha\,</math>.
Se <math>\alpha \in m \in \beta\,</math>, então <math>s(\alpha) \in \beta\,</math>, assim, temos que (pelo fato de ''m'' ser mínimo em ''β - α'' e ''s(α)'' ser um membro deste conjunto) que <math>m \subseteq s(\alpha)\,</math>, que implica em <math>m \in \alpha\,</math> (absurdo) ou <math>m = \alpha\,</math> (igualmente absurdo).
Temos, portanto, que <math>m \not\in \alpha\,</math> e <math>\alpha\ \not\in m\,</math>.
Tomemos ''x'' um elemento qualquer de ''α''. Comparando ''x'' com ''m'', temos que ''x = m'' ou <math>m \in x\,</math> implicam no absurdo <math>m \in \alpha\,</math>, o que conclui a prova de que <math>\alpha \subseteq m\,</math>.
Por outro lado, seja ''x'' um elemento de ''m''. Se <math>x \not\in \alpha\,</math>, então <math>x \in \beta - \alpha\,</math>, contradizendo a propriedade de ''m'' ser mínimo - ou seja, <math>m \subseteq \alpha\,</math>.
Ou seja, provamos que <math>\alpha \subset \beta \implies \alpha = \min_{\beta} (\beta - \alpha)\,</math> cujo corolário é que <math>\alpha \in \beta\,</math>.
== A união de elementos de um número ordinal é um número ordinal ==
Ou seja, sejam ''Ord(α)'', <math>S \subseteq \alpha\,</math> e <math>\beta = \bigcup_{x in S} x\,</math>. Então ''Ord(β)''.
É fácil ver que:
* <math>\beta \subseteq \alpha\,</math> - pela transitividade e porque <math>x \in \beta \implies \exists y \in S, (x \in y \in S)\,</math>
Logo, define-se a relação ''((β, β), Rb)'' como o subconjunto da relação ''((α, α), Ra)'' para os elementos de ''β''.
Quase todos axiomas seguem imediatamente do fato dos elementos de ''β'' serem elementos de ''α'':
* <math>\forall x, y \in \beta, ((x,y) \in R_b \iff x \in y)\,</math>
* <math>\forall x, y, z \in \beta, (x < y \land y < x \implies x < z)\,</math> (transitividade)
* <math>\forall x \in \beta, (\neg x < x)\,</math> (aliorrelatividade)
* <math>\forall x, y \in \beta, (x < y \lor x = y \lor y < x)\,</math> (ordem total)
* <math>\forall S' \subseteq \beta, (\exists s \in S' \implies \exists i \in S', (\forall x \in S', (i = x \lor i < x)))\,</math> (bem-ordenação: todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo)
Falta mostrar:
* Todo elemento de β é um subconjunto de β
Seja portanto ''x'' um elemento de ''β'', por construção de ''β'' existe um elemento ''y'' em ''S'' com <math>x \in y \in S\,</math>, mas como ''x'' e ''y'' são ordinais, temos que <math>x \subset y\,</math>, ou seja, temos <math>x \subseteq y \in S\,</math> portanto (ver exercício em [[../Axioma da união/]]) <math>x \subseteq \bigcup_{y in S} y = \beta\,</math>.
== A união de todos elementos de um ordinal é este ordinal ou seu antecessor ==
Aqui, ''antecessor'' de um ordinal ''β'' é um ordinal ''α'' com ''β = s(α)''. Obviamente, o conjunto vazio não tem antecessor. Provaremos mais adiante que o antecessor, se existe, é único. Exibiremos, mais adiante, ordinais não-vazios que não tem antecessor; estes ordinais são chamados de ''ordinal limite''.
Seja portanto ''Ord(β)'' e <math>\alpha = \bigcup_{x \in \beta} x\,</math>. Vimos acima que ''Ord(α)'' e que <math>\alpha \subseteq \beta\,</math>. Falta provar apenas que <math>\alpha \ne \beta \implies \beta = s(\alpha)\,</math>.
Suponhamos então que <math>\exists x, x \in \beta - \alpha\,</math>. Provaremos inicialmente que este ''x'', se existe, é único: se existirem ''x'' e ''y'' na diferença ''β - α'', pela totalidade, temos que <math>x \in y\,</math> (e analogamente para <math>y \in x\,</math>) implica que <math>x \subseteq y \in \beta\,</math>, ou seja <math>x \in \bigcup_{y \in \beta} y = \alpha\,</math>, contradição.
Então temos que <math>\beta = \alpha \cup \{ x \}\,</math>. Basta então mostrar que ''x = α''. Como <math>x \in \beta\,</math>, então <math>\alpha \cup x = \bigcup_{y \in \beta} y \cup x = \bigcup_{y \in \beta \cup \{x}} y = \bigcup_{y \in \beta} y = \alpha\,</math>. Ou seja, <math>x \subseteq \alpha\,</math>.
Por outro lado, suponha que <math>y \in \alpha\,</math>, então, por ''x'' e ''y'' serem elementos de ''β'', temos que ''x = y'' ou <math>x \in y\,</math> ou <math>y \in x\,</math>. ''x = y'' e <math>x \in y\,</math> levam a contradição, porque <math>x \not\in \alpha\,</math>. Portanto, temos que <math>y \in x\,</math>, o que conclui <math>\alpha \subseteq x\,</math>.
Em resumo, mostramos que, se <math>\alpha \subset \beta\,</math>, então <math>\beta = \alpha \cup \{ x \}\,</math> e ''x = α'', concluindo que ''β = s(α)''.
=== Outras provas ===
| |||