Teoria dos conjuntos/Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
→Relação bem ordenada e número ordinal: Mais alguns resultados importantes |
m format |
||
Linha 132:
* Se ''S'' é um subconjunto não-vazio de ''α'', então também é um conjunto não-vazio de ''β'', portanto tem elemento mínimo.
=== O sucessor de um elemento de um ordinal é um subconjunto deste ordinal ===
Ou seja, ''Ord(β)'' e <math>\alpha \in \beta\,</math> implica em <math>s(\alpha) \subseteq \beta\,</math>.
Linha 139:
=== A interseção de dois ordinais é um ordinal ===
Sejam ''Ord(α)'', ''Ord(β)'' e γ a sua interseção.
Linha 157:
=== Se um ordinal é suficientemente maior que outro, então ele tem seu sucessor como elemento ===
Se ''Ord(α)'', ''Ord(β)'' e ''Ord(γ)'', com <math>\alpha \in \beta \in \gamma\,</math>, então <math>s(\alpha) \in \gamma\,</math>.
Linha 165:
Primeiro, é óbvio que <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>: por construção, <math>\alpha in m\,</math>, portanto, por ser ''α'' um ordinal de ''m'', temos que <math>\alpha \subset m\,</math> - o que completa a prova de que <math>\alpha \cup \{ \alpha \} \subseteq m\,</math>.
Por outro lado, seja ''x'' um elemento de ''m''. Então, comparando ''x'' com ''α'', temos três possibilidades: ''x = α'' implica em <math>x \in s(\alpha)\,</math>, <math>x \in
Ou seja, <math>m \subseteq s(\alpha)\,</math> e <math>s(\alpha) \subseteq m\,</math>, completando a demonstração de que <math>s(\alpha) = m \in \gamma\,</math>
=== Se um ordinal é subconjunto próprio de outro, então ele é seu elemento ===
Será provado ainda mais que isso:
: <math>Ord(\alpha), Ord(\beta), \alpha \subset \beta \implies \alpha = \min_{\beta}(\beta - \alpha)\,</math>
Linha 190:
=== A união de elementos de um número ordinal é um número ordinal ===
Ou seja, sejam ''Ord(α)'', <math>S \subseteq \alpha\,</math> e <math>\beta = \bigcup_{x in S} x\,</math>. Então ''Ord(β)''.
Linha 210:
Seja portanto ''x'' um elemento de ''β'', por construção de ''β'' existe um elemento ''y'' em ''S'' com <math>x \in y \in S\,</math>, mas como ''x'' e ''y'' são ordinais, temos que <math>x \subset y\,</math>, ou seja, temos <math>x \subseteq y \in S\,</math> portanto (ver exercício em [[../Axioma da união/]]) <math>x \subseteq \bigcup_{y in S} y = \beta\,</math>.
=== A união de todos elementos de um ordinal é este ordinal ou seu antecessor ===
Aqui, ''antecessor'' de um ordinal ''β'' é um ordinal ''α'' com ''β = s(α)''. Obviamente, o conjunto vazio não tem antecessor. Provaremos mais adiante que o antecessor, se existe, é único. Exibiremos, mais adiante, ordinais não-vazios que não tem antecessor; estes ordinais são chamados de ''ordinal limite''.
Linha 217:
Suponhamos então que <math>\exists x, x \in \beta - \alpha\,</math>. Provaremos inicialmente que este ''x'', se existe, é único: se existirem ''x'' e ''y'' na diferença ''β - α'', pela totalidade, temos que <math>x \in y\,</math> (e analogamente para <math>y \in x\,</math>) implica que <math>x \subseteq y \in \beta\,</math>, ou seja <math>x \in \bigcup_{y \in \beta} y = \alpha\,</math>, contradição.
Então temos que <math>\beta = \alpha \cup \{ x \}\,</math>. Basta então mostrar que ''x = α''. Como <math>x \in \beta\,</math>, então <math>\alpha \cup x = \bigcup_{y \in \beta} y \cup x = \bigcup_{y \in \beta \cup \{x\}} y = \bigcup_{y \in \beta} y = \alpha\,</math>. Ou seja, <math>x \subseteq \alpha\,</math>.
Por outro lado, suponha que <math>y \in \alpha\,</math>, então, por ''x'' e ''y'' serem elementos de ''β'', temos que ''x = y'' ou <math>x \in y\,</math> ou <math>y \in x\,</math>. ''x = y'' e <math>x \in y\,</math> levam a contradição, porque <math>x \not\in \alpha\,</math>. Portanto, temos que <math>y \in x\,</math>, o que conclui <math>\alpha \subseteq x\,</math>.
| |||