Thiago Marcel

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** Cálculo Avançado; Álgebra; Análise na reta (concluídos)
 
== [[Imagem:1de8.svg]] [[Usu%C3%A1rio:Thiago_Marcel/Doutorado | Doutorado]] ==
== Doutorado ==
 
ÁLGEBRA COMUTATIVA
 
A linguagem de categorias e funtores. Os funtores básicos da Álgebra Comutativa, Hom e Ext. Módulos projetivos e injetivos. Definição e fatos básicos sobre complexos, homologia e cohomologia. Definição e propriedades básicas do funtor Ext. Definição e propriedades básicas do funtor Tor. Uma introdução ao complexo de Koszul . Localização de anéis e módulos. O espectro de um anel comutativo. Anéis graduados. Anéis Noetherianos: teorema da base e Nullstellensatz. Variedades projetivas. Funções de Hilbert e Polinômios de Hilbert. Resoluções livres e Teorema Syzygy. Teorema da Decomposição Primária de anéis Noetherianos. Anéis Artinianos. Radicais Nil e de Jacobson. Bases de Grobner: teoria construtiva de módulos. Teoria da eliminação. Syzygies de submóduls monomiais. Bases de Grobner : syzygies. Aplicações. Seqüências regulares e o complexo de Koszul.
Bibliografia
ATIYAH, M. F. e MACDONALD, I. G. , Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass., Addison-Wesley, 1969.
EISENBUD, D. , Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Berlin, Springer-Verlag, 1995.
Maclane, S., Homology, Springer, 1963.
Matusumura, H. , Commutative Ring Theory, Cambridge U. Press, 1986.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra: Commutative View, Grad. Studies in Math. vol. 73, AMS, 2006.
Weibel, C., An Introduction to Homological Algebra, Cambridge U. Press, 1996.
Zariski, O. and Samuel, P. Commutative Algebra, Springer reprint, 1979.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra: Commutative View, Grad. Studies in Math. vol. 73, AMS, 2006.
 
ÁLGEBRA NÃO COMUTATIVA
 
Anéis não comutativos, teoria geral; Teoria de Wedderburn-Artin: terminologia básica e exemplos. Anéis e módulos semi-simples. Estrutura de anéis semisimples. Teoria do radical de Jacobson: o radical de Jacobson; mudança de anéis; anéis de grupos; o problema da semisimplicidade. Módulos sobre álgebras de dimensão finita; representação de grupos finitos; grupos lineares; Teorema de Burnside. Quasedeterminantes: definição em termos de inversos e recursividade. Propriedades; relações linhas/colunas, teorema de Sylvester; Aplicações: quasedeterminante de Vandermonde, teorema de Vieta, funções simétricas. Álgebras relacionadas a raízes de equações: Qn, definição das álgebras A(f),descrição de uma base linear. Lema do Diamante de Bergman. Fatoração em anéis polinomiais retorcidos: teorems do resto e do produto; definição e exemplos de polinomios de Wedderburn. Álgebras de Koszul:defnição,álgebra dual, série de Hilbert.
Bibliografia
BERGMAN,G.M.,The Diamond Lemma for Ring Theory,Advances in Mathematics,29(1978)178-195.
FRÖBERG,R.,Koszul Algebras, manuscript, 1998.
GELFAND,I.,GELFAND,S.,RETAKH,V.e WILSON,R.L.,Quasideterminants, Advances in Mathematics193(2005), 56-141.
GELFAND,I.,RETAKH,V.,SERCONEK,S. e WILSON,R.L., On a Class of Algebras Associated to Directed Graphs,
LAM,T.Y., A First Course in Non Commutative Rings, 2nd edition, Springer Verlag, N.Y., 2001.
LAM,T.Y. e LEROY, A., Vandermonde and Wronskian Matrices over Division Rings, Journal of Algebra 119 (1988), 308-336.
LAM,T.Y., e LEROY, A., Wedderburn Polynomials over Division Rings I, Contemporary Mathematics.
ROWEN, Louis. H., Graduate Algebra:A Noncommutative View, Grad. Studies in Math. vol. 91, AMS, 2008.
ANÁLISE FUNCIONAL
Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos.
 
Bibliografia
BACHMAN, G. e NARICI, L.. - Functional Analysis. New York, Academic Press, 1966.
DUNFORD, N. e SCHWARTZ, J. - Linear Operators, Vol. 1, Wiley Interscience. New York, 1964.
REED, M. e SIMON, B. - Methods of Modern Mathematical. Physics, vol. I. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e NAGY, B. - Functional Analysis. New York, Frederick Ungar, 1955
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS E APLICAÇÕES
Equações não lineares de primeira ordem. O problema de Cauchy para equações quasi-lineares. Equação de Burgers e a condição o choque (condição de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque e ondas de rarefação. Equações de Buckley-Leverett. Equações Hiperbólicas de segunda ordem. Propagação de singularidade. A equação da onda. Equações de Águas Rasas. O teorema de Cauchy-Kowalevski, a identidade de Green e o teorema de unicidade de Holmgren. Soluções fracas; distribuições. Equações elipticas. A equação de Laplace. A Equação de Poisson para a pressão ou função de corrente. Equação da onda em variáveis espaciais. Método das médias esféricas, princípio de Duhamel em métodos e energia. Equações parabólicas. Princípio do máximo. Análise de unicidade e regularidade. Outros tópicos.
Bibliografia
JOHN, F. - Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982.
GARABEDIAN, P. R. - Partial Differential Equations, Chelsea Publ. Co., 1986.
SMOLLER, J. - Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, Springer-Verlag, 1983.
WHITHAM, G. B. - Linear and Nonlinear Waves, Wiley-Interscience, 1974.
COURANT, R., HILBERT, D. - Methods of Mathematical Physics, vol. II, Partial Differential Equations, Intersciense Publisher, 1953.
KEVORKIAN, J. - Partial Differential Equations, Analytical Solution Techniques, Wadsworth & Brooks/Cole, 1990.
HABERMAN, R. - Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice Hall, 1987.
WEINBERGER, H. - A First Course in Partial Differential Equations, John Wiley, 1965.
ARNOLD, Vladimir I. Lectures on partial differential equations. Universitext. Springer-Verlag
 
GEOMETRIA RIEMANNIANA
Métricas Riemannianas. Conexões afins. Conexão de Levi-Civita. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Curvaturas; Seccional, de Ricci e curvatura escalar. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; as formas fundamentais, equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades Riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante; Teorema de Cartan. As formas espaciais. Variações do comprimento de arco; aplicações. Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge. Teorema de comparação de Rauch. Outros Tópicos.
Bibliografia
CARMO, M. do - Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, IMPA,2a.ed. 1988.
CHEEGER, J. e EBIN, D. - Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Amsterdam, North-Holland, 1975.
GALLOT, S.; HULIN, D. e LAFONTAINE, J. - Riemannian Geometry, Berlin, Springer-Verlag, 2a.ed.1987.
SAKAI, T. - Riemannian Geometry, Mathematical Monographs, vol. 149, A.
 
OTIMIZAÇÃO
Existência de soluções. Condições de otimalidade para problemas sem restrições. Condições de otimalidade em forma primal para problemas com restrições. O cone tangente. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade (condições de Lagrange, condições de segunda ordem). Conjuntos convexos. Teoremas de separação. Teoremas de alternativa. Funções convexas. Condições de otimalidade no caso das restrições de igualdade e desigualdade (condições de Karush-Kuhn-Tucker, condições de segunda ordem). Elementos da Teoria de Dualidade.
Bibliografia
BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D., SHETTY, C. M. - Nonlinear programming: Theory and algorithms. 3nd ed. Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 2006.
BERTSEKAS, D. P. - Nonlinear programming, Belmont, Mass.: Athena Scientific, 1995.
IZMAILOV, A., SOLODOV, M. - Otimização, volume 1: Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
LUENBERGER, D. G. - Linear and nonlinear programming. 2nd ed. Kluwer Academic Publishers, Boston, MA, 2003.
PERESSINI, A. L.; SULLIVAN, F. E., UHL, J. J., JR- The mathematics of nonlinear programming. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag
 
SISTEMAS DINÂMICOS
Campos de vetores em variedades, Estabilidade estrutural, Variedades Invariantes (estável, central). Transversalidade. Propriedades genéricas de sistemas. Teorema de Hartman. Teorema de Stenberg, Teorema de Kupka-Smale, Teorema de Peixoto, Sistemas Hiperbólicos, Sistemas de Anosov e Morse-Smale. Bifurcações e formas normais.
Bibliografia
PALIS, J. e MELO, W. Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projetos Euclides, IMPA, 1977.
SHUB, M. Global Stability of Dynamical Systems. New York, Springer-Verlag, 1987.
BONATTI, C., DÍAZ, L. J. e VIANA, M - Dynamics beyond uniform hyperbolicity: a global geometric and probabilistic perspective. Springer Verlag,
2004.
LLIBRE, J.; DUMORTIER, F.; ARTÉS, J. C.: Qualitative theory of planar differential systems. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
MOSER J., ZEHNDER, E.; Notes on Dynamical Systems, Courtant Lecture Notes 12, A.M.S, 2005.
ARNOLD, V., Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. Editora Mir, 1984.
 
TEORIA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS
Inteiros algébricos. Anel dos inteiros algébricos de um corpo de números, bases e discriminante. Ideais, ideais primos. Grupo de classes, finitude do grupo de classes. Fatoração única e ideais primos. Norma de ideais. Discriminante, diferente e ramificação. Igualdade fundamental. Corpos quadráticos e lei de reciprocidade quadrática. Corpos ciclotômicos. Teorema de Dirichlet (unidade). Função zeta e L-séries de corpos de números, fórmula analítica do número de classes.
Bibliografia
BOREVICH, Z. I. e SHAFAREVICH, I.R. - Number Theory, New York, Academic Press, 1966.
ENDLER, O. Teoria dos números algébricos. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1986.
RIBENBOIM, P. - Algebraic Numbers, New York, Wiley-Interscience, 1972.
SAMUEL, P. - Théorie Algébrique des Nombres, Paris, Hermann, 1967.
 
TEORIA ESPECTRAL
Operadores lineares limitados e não limitados. Operdaores integrais, operadores de multiplicação e operadores diferenciais. O teorema de extensão para operadores limitados. A transformada de Fourier em L1(Rn), S(Rn) e L2(Rn) Distribuições de L. Schwartz, distribuições temperadas e distribuições de suporte compacto. Os espaços de Sobolev Hs(Rn). Aplicações às equações de evolução, lineares e não lineares. Operadores fechados, fecháveis, simétricos e auto-adjuntos. Resolvente e espectro. A transformada de Cayley. Diferenciação de medidas. O teorema de decomposição de Hahn. O teorema de decomposição de Radon-Nikodyn. Integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O teorema espectral para operadores auto-adjuntos nas formas de integrais espectrais, de operador de multiplicação e de cálculo funcional. O teorema de Stone.
Bibliografia
HILLE, E. - Methods in Classical and Functional Analysis.
KOLMOGOROV, A. N. e FOMIN, S. V. - Introductory Real Analysis, Dover Publ., Inc. (1970).
REED, M. e B., SIMON - Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I e II. New York, Academic Press, 1972.
RIESZ, F. e SZ.-NAGY, B. - Functional Analysis, Frederick Ungar Publ. Co. (1955).
RUDIN, W.- Real and Complex Analysis.
STONE, M. - Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis, Amer.
 
TÓPICOS DE BIFURCAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Bifurcações de sistemas unidimensionais e bidimensionais a vários parâmetros. Teoremas de estabilidade e genericidade. Pontos singulares finitamente determinados: Teorema de Bendixson-Dumortier. Espaços de jatos, Teorema de preparação de Weierstrass-Malgrange. Desingularização de pontos singulares. Aplicações: bifurcações dos sistemas gradientes; Teorema de Thom. Bifurcações de Hopf generalizadas. Bifurcações dos pontos singulares nilpotentes. Bifurcações de sistemas hamiltonianos. Teorema de Bogdanov-Takens. Outros tópicos.
Bibliografia
ANDRONOV, A. A., LEONTOVICH, E. A. - Theory of Bifurcations of Dynamical Systems on a Plane, Jerusalem, Israel Program for Scientific
Translations, 1971.
GUCKENHEIMER J., HOLMES, J. - Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. Berlin, Springer-Verlag, 1983.
SOTOMAYOR, J. - Curvas Definidas por Equações Diferenciais no Plano, Rio de Janeiro, IMPA, 1981.
ROUSSARIE, R., Bifurcation of planar vector fields and Hilbert's sixteenth problem. Progress in Mathematics, 164. Birkhäuser Verlag, Basel, 1998
Dumortier, Freddy; Llibre, Jaume; Artés, Joan C. Qualitative theory of planar differential systems. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
Arnold, V. Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires. Editora Mir. Moscow, 1984.
Ilyashenko, Yu.; Li, Weigu, Nonlocal bifurcations. Mathematical Surveys and Monographs, 66. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999
Demazure, Michel. Bifurcations and catastrophes. Geometry of solutions to nonlinear problems. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2000
Kuznetsov, Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. Applied Mathematical Sciences, 112. Springer-Verlag, New York, 1995.
 
TÓPICOS DE GEOMETRIA RIEMANNIANA
Ementa variável: os tópicos a serem ministrados, em cada período, deverão ser escolhidos dentro das linhas de pesquisa do grupo de geometria.
Bibliografia
Artigos e/ou livros a serem definidos em cada período.
 
TÓPICOS DE OTIMIZAÇÃO
o método do gradiente, o método de Newton, métodos quase-Newton, métodos de direções conjugadas, métodos do gradiente projetado, métodos de direções viáveis, penalização externa, penalização interna, Lagrangianas aumentadas, programação quadrática seqüencial, métodos de subgradiente, o método de planos cortantes, métodos de feixe e método de ponto Proximal.
Bibliografia
BERTSEKAS, D.P. - Nonlinear Programming. Athena Scientific, 1995.
BONNANS, J.F., GILBERT J-CH., LEMARÉCHAL, C., SAGASTIZÁBAL, C. - Numerical optimization : theoretical and practical aspects. 2nd ed, Berlin;
New York. Springer, 2006.
DENNIS JR, J. E., SCHNABEL, R. B. - Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. Corrected reprint of the 1983 original. Classics in Applied Mathematics, 16. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996.
IUSEM, A. N. - Métodos de ponto proximal em otimização. Rio de Janeiro, IMPA, 1995.
IZMAILOV, A. E., SOLODOV, M. - Otimização, volume 2. Rio de Janeiro, IMPA, 2007.
 
TOPOLOGIA DIFERENCIAL
Variedades diferenciáveis; definições, exemplos. Aplicações diferenciáveis. Fibrado tangente. Imersões, mergulhos e submersões. Variedades orientáveis . Partições da unidade . Transversalidade. Homotopia e estabilidade. Teorema de Sard. Teorema do mergulho de Whitney. Topologia Cr (domínio compacto) no espaço de funções. Variedades com bordo. Transversalidade e teoria da interseção módulo dois.Teoria da Interseção orientada.Teorema do ponto fixo de Lefstchetz. Teorema do índice de Poincaré-Hopf. Outros tópicos.
Bibliografia
LIMA, E. L., Introdução à Topologia Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
MILNOR, J., Topology from the Differentiable Viewpoint. Charlottesville, Princeton Univ. Press, 2nd (1969).
HIRSCH, M., Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer-Verlag, New York, 1994.
Guillemin, Victor; Pollack, Alan, Differential topology. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974.
LANG, S; Fundamentals of Differential Geometry, Springer Verlag, 1999.
 
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