Medida e integração/Integração de funções mais gerais: diferenças entre revisões

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Assim como no [[../Integração de funções positivas|capítulo anterior]], ao longo deste capítulo será suposto fixado um [[../Medida#Definição 4.1.2defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu).</math>
 
{{Âncora|defi:int-fun-gerais}}
{{Definição|6.1
|Dado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> uma função mensurável <math>f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}} = \left[-\infty, +\infty\right]</math> e um conjunto mensurável <math>E,</math> a '''integral de <math>\boldsymbol{f}</math> sobre <math>E</math>''' é definida como sendo o elemento de <math>\overline{\mathbb{R}}</math> dado por
{{Fórmula|<math>\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu := \int\limits_E f^+ \, \mathrm{d}\mu - \int\limits_E f^- \, \mathrm{d}\mu,</math>}}
desde que pelo menos uma das integrais que aparecem no segundo membro seja finita.
}}
* {{Observação|6.2|Toda função que toma valores reais e é mensurável continua mensurável se for vista como uma função que toma valores na reta extendia, isto é, se <math>f: X \mapsto \mathbb{R}</math> é uma função mensurável, então a função <math>f_1: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> definida por <math>f_1(x) = f(x)</math> em cada <math>x \in \mathbb{R}</math> também é mensurável. Consequentemente, a [[#Definição 6.1defi:int-fun-gerais|Definição 6.1]] também é aplicável às funções <math>f: X \mapsto \mathbb{R}</math> mensuráveis.
{{Justificativa}}
Reciprovamente, dada qualquer função mensurável <math>g: X \mapsto \overline{\mathbb{R}}</math> para a qual <math>\operatorname{Im}(g) \subset \mathbb{R},</math> a sua restrição <math>g_0: X \mapsto \mathbb{R}</math> definida por <math>g_0(x) = g(x)</math> em cada <math>x \in \mathbb{R}</math> também é uma função mensurável.
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{{Definição|6.3
|Dado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] <math>(X, \mathfrak{M}, \mu),</math> define-se o '''espaço das funções integráveis sobre <math>\mathbf{E}</math> em relação à medida <math>\boldsymbol{\mu}</math>'''<ref>O espaço <math>\mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K})</math> é um exemplo particular dos espaços <math>\mathcal{L}_p(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K})</math> (formados pelas funções cuja <math>p</math>-ésima potência é integrável) que serão definidos mais adiante. Veja por exemplo, [[../Bibliografia#Rana (2002)|Rana (2002)]], Definição 8.4.1, [http://books.google.com/books?id=Y9YcRnvfhtYC&pg=PA261 p. 261].</ref> como sendo
{{Fórmula|<math>\textstyle \mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K}) : = \left\{f: X \mapsto \mathbb{K}| f \mbox{ é mensurável e } \int_{X} |f| \mathrm{d}\mu< \infty\right\}</math> }}
}}
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O conjunto <math>\mathcal{L}_1(X, \mathfrak{M}, \mu; \mathbb{K})</math> costuma ser simbolizado por notações mais simples como, por exemplo, <math>\mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{K}),</math> <math>\mathcal{L}_1(X, \mu),</math> <math>\mathcal{L}_1(X)</math> ou mesmo <math>\mathcal{L}_1.</math> Nestes casos, os itens que forem omitidos deverão estar claros pelo contexto. Alguns autores preferem usar <math>\mathcal{L}^1</math>, colocando o índice como sobrescrito<ref>Ver, por exemplo, [[../Bibliografia#de Barra (2008)|de Barra (2008)]], [http://books.google.com/books?id=bfgSwxff_NwC&pg=PA109 p. 109], seção 6.1.</ref>.
 
{{Âncora|defi:int-fun-complex}}
{{Definição|6.4
|Para cada par de funções mensuráveis <math>u: X \mapsto \mathbb{R}</math> e <math>v: X \mapsto \mathbb{R},</math> define-se a integral da função complexa <math>f := u + vi \in \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{C})</math> em cada <math>E \in \mathfrak{M}</math> como sendo:
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}}
 
O leitor deve observar que as funções <math>u^+,</math> <math>u^-,</math> <math>v^+</math> e <math>v^-</math> que aparecem na [[#Definição 6.4defi:int-fun-complex|Definição 6.4]] são mensuráveis, reais e não-negativas. Deste modo, existem as integrais correspondentes sobre o conjunto <math>E \in \mathfrak{M}</math> (ver [[../Integração de funções positivas#Definição 5.4eq:int-fun-nao-neg|Definição 5.4]]). Note também que <math>u^+, u^- \le |u| \le |f|</math> e também <math>v^+, v^- \le |v| \le |f|,</math> de modo que, pelos itens [[../Integração de funções positivas#Proposição 5.9.1|1]] e [[../Integração de funções positivas#Proposição 5.9.2|2]] da [[../Integração de funções positivas#Proposição 5.9prop:props-gerais-integral|Proposição 5.9]], as integrais destas funções são finitas e, consequentemente, conforme a [[#Definição 6.1defi:int-fun-gerais|Definição 6.1]], <math>\textstyle\int\limits_E f \, \mathrm{d}\mu \in \mathbb{C}, \forall E \in \mathfrak{M}.</math>
 
* {{Observação|6.5|Se <math>f \in \mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{R}),</math> então qualquer que seja <math>E \in \mathfrak{M}</math>, o valor da integral de <math>f</math> em <math>E</math> é real, isto é:
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}}
 
O teorema a seguir mostra que <math>\mathcal{L}_1(X, \mu; \mathbb{K})</math> é um espaço vetorial seminormado (ver [[#exer:???|exercício]]).
 
{{Teorema|6.6