Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais: diferenças entre revisões
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Axiomas de Peano |
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A demonstração parte da construção do conjunto <math>K = \{ n \in \mathbb{N} | P(n) \} \,</math>, e aplicando-se o resultado anterior para provar que <math>K = \mathbb{N}\,</math>.
== Axiomas de Peano ==
{{Principal|Álgebra abstrata/Números naturais}}
O estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.
Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.
Uma forma é partir do conjunto <math>\mathbb{N}\,</math> e definí-las.
Mas uma forma mais elegante é partir dos {{w|Axiomas de Peano}}.
{{w|Giuseppe Peano|Peano}}, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto ''N'' satisfazendo:
# <math>\exists 0 \in N\,</math>
# <math>\exists s: N \to N\,</math>
# <math>\not\exists n \in N, (s(n) = 0)\,</math>
# <math>\forall n, m, (s(n) = s(m) \implies n = m)\,</math>
# <math>\forall K \subseteq N, (0 \in K \land (n \in K \implies s(n) \in K) \implies K = N)\,</math>
Em palavras:
# ''N'' possui um elemento, que chamaremos de ''0''
# Todo elemento de ''N'' possui um sucessor em ''N''; chamamos de ''s(n)'' ao sucessor de ''n''
# Não existe um número cujo sucessor seja o ''0''
# Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de ''N'' são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
# Se um subconjunto de ''N'' tem ''0'' como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a ''N'' (princípio da indução)
Mostremos agora que <math>N = \mathbb{N}\,</math>, <math>0 = \varnothing\,</math> e <math>s(x) = x \cup \{ x \}\,</math> é um ''modelo'' dos axiomas de Peano.
# <math>\varnothing \in \mathbb{N}\,</math> - por construção
# <math>\exists s: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\,</math> - por construção
# <math>\not\exists n \in \mathbb{N}, (s(n) = \varnothing)\,</math> - verdadeiro, pois ''s(n)'' é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - ''n'' - logo <math>s(n) \ne \varnothing\,</math>
# <math>\forall n, m, (s(n) = s(m) \implies n = m)\,</math> - deixaremos esta prova para o final
# o princípio da indução foi demonstrado acima
Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se ''s(n) = s(m)'' temos que <math>n \in m \cup \{ m \}\,</math> e <math>m \in n \cup \{ n \}\,</math> e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:
# <math>n \in m \land m \in n\,</math>
# <math>n \in m \land m = n\,</math>
# <math>n = m \land m \in n\,</math>
# <math>n = m \land m = n\,</math>
que é o caso ''n = m''.
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