Teoria dos conjuntos/Números ordinais: diferenças entre revisões
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Ordinal limite |
m →Classificação dos ordinais: Melhorando a prova |
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Prova: já vimos anteriormente que <math>\bigcup_{x \in \alpha} x\,</math> é um ordinal (ver [[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]]). É imediato verificar que <math>\bigcup_{x \in \alpha} x \subseteq \alpha\,</math>. Suponha, portanto, que <math>\bigcup_{x \in \alpha} x \subset \alpha\,</math>, então mostraremos que ''α'' é um ordinal sucessor, o que completa a prova.
Mas se <math>\bigcup_{x \in \alpha} x \subset \alpha\,</math>, então temos que existe um elemento <math>\beta \in \alpha\,</math> tal que <math>\beta \not\in \bigcup_{x \in \alpha} x\,</math>. Mas vimos anteriormente (ver [[../Axioma da potência/]]) que <math>\beta \in \alpha \implies (s(\beta) = \alpha \lor s(\beta) \in \alpha)\,</math>, Neste caso, <math>s(\beta)\,</math> não pode ser elemento de ''α'', portanto ''α = s(β)''.
A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal ''α'' em que <math>\alpha = \bigcup_{x \in \alpha} x\,</math>, então obviamente ''α'' não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que <math>\bigcup_{x \in s(\alpha)} x \subset s(\alpha)\,</math>, pois ''α'' é um elemento de ''s(α)'' mas não é um elemento de algum elemento de ''s(α)''), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.
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