Teoria dos conjuntos/Números ordinais: diferenças entre revisões
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Boa ordenação dos ordinais |
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A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal ''α'' em que <math>\alpha = \bigcup_{x \in \alpha} x\,</math>, então obviamente ''α'' não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que <math>\bigcup_{x \in s(\alpha)} x \subset s(\alpha)\,</math>, pois ''α'' é um elemento de ''s(α)'' mas não é um elemento de algum elemento de ''s(α)''), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.
== A boa ordenação dos ordinais ==
O que foi visto até agora permite escrever as seguintes propriedades:
: <math>Ord(\alpha) \land Ord(\beta) \implies (\alpha \in \beta \lor \alpha = \beta \lor \beta \in \alpha)\,</math>
: <math>Ord(\alpha) \land Ord(\beta) \implies (\alpha \in \beta \iff \alpha \subset \beta)\,</math>
Por definição, se ''S'' for um conjunto não-vazio de ordinais contido em algum outro ordinal,
então ''S'' possui elemento mínimo (considerando a relação de ordem total definida por <math>x \in y\,</math>).
Este fato pode ser generalizado: se ''S'' for um conjunto não-vazio de ordinais, então ''S'' tem um elemento mínimo.
Na verdade, podemos generalizar ainda mais: se ''Φ(x) for uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos através de uma fórmula bem formada, e existir algum ordinal ''α'' que satisfaça ''Φ(α)'', então existe um ordinal ''μ'' que é mínimo para ''Φ(x)'', ou seja, que, qualquer que seja ''x'' satisfazendo ''Φ(x)'' temos que ''x = μ'' ou <math>\mu \in x\,</math>.
Informalmente, costuma-se dizer que uma propriedade ''Φ(x)'' que pode valer ou não valer conforme o conjunto ''x'' define uma ''classe''; existem outras apresentações da teoria dos conjuntos em que o conceito de classe faz parte da teoria. Este teorema, então, diz que uma classe não-vazia de ordinais tem um elemento mínimo.
Note-se que este não é apenas um teorema: é um '''esquema''' de teoremas, e para cada fórmula ''Φ(x)'' temos uma nova versão do teorema.
Prova: suponha que a fórmula ''Φ(x)'' seja satisfeita para os ordinais ''α'' e ''β''.
Então vamos formar os conjuntos (bem definidos, pelo [[../Axioma da extensão/]]):
: <math>S_A = \{ x \in s(\alpha) \ | \ \Phi(x) \}\,</math>
: <math>S_B = \{ x \in s(\beta) \ | \ \Phi(x) \}\,</math>
Estes conjuntos são subconjuntos não-vazios de ordinais (por exemplo, <math>\alpha \in S_A \subseteq s(\alpha)\,</math>), logo podemos tomar seus mínimos
: <math>a = \min_{s(\alpha)} S_A\,</math>
: <math>b = \min_{s(\beta)} S_B\,</math>
Afirmação: ''a = b''.
Prova: sem perda de generalidade, se ''a ≠ b'', suponhamos que <math>a \in b\,</math>. Neste caso, como <math>b \in s(\beta)\,</math>, pela transitividade, <math>a \in s(\beta)\,</math>, ou seja, <math>a \in S_B\,</math>, contradizendo o fato de ''b'' ser mínimo.
Ou seja, se a fórmula ''Φ(x)'' é satisfeita por qualquer ordinal, então o mínimo de ''Φ(x)'' existe e não depende do ordinal escolhido, ou seja, ele existe e é único.
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